Quelltext der Seite Potenzfunktionen - 3. Stufe

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==

Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>.

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= 
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. 
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
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|}

<!--neue Datei {{ggb|7_x1n_w2.ggb|datei}}-->


== Potenzen und Wurzeln ==

Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt ''Wurzelfunktion''.

Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt:

:<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math>

Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

:<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>



Beispiele: 

* <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>, aber
* <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert.
* <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch


<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
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{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}

== Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ====


Offenbar kann man zum Beispiel wegen 
* <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3</math>, und
* <math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>
die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. 

Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:

* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

::<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>

==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====

Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass

<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.