Quelltext der Seite Potenzfunktionen - 2. Stufe

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= 
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac {1}{k^n}</math>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
|}

=== Parabel und Hyperbel ===

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen <math>f(x)=x^n</math> und <math>f(x)=x^{-n}</math> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^n</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
Für <math>f(x)=x^2</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für <math>f(x)=x^3</math> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').

Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' 

{| <!--class="prettytable sortable" -->
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" /> 
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= 
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= 
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\frac{1}{16})</math> 
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q \left( 0,5;8 \right)</math>?
:{{Lösung versteckt|
# Die Lösung ist <math>n=4</math>, dann gilt nämlich <math>f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}</math>.
# Die Lösung ist <math>n=3</math>, dann gilt nämlich <math>f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8</math>
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''

{| <!--class="prettytable sortable"--> 
|-  style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= 
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! 
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
filename="4_ax_minus_n.ggb" />

|}


{| <!--class="prettytable sortable"--> 
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" 
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
|| 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= 
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
# <math>a = 2, n = 1</math>.
# Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.}}
}}<br>

|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]