Quelltext der Seite Näherungsverfahren

Bisher wurde die Lösung der betrachteten Differentialgleichungen über '''Integration''' vorgestellt. Mathematiker versuchen dabei, eine mathematisch '''exakte''' (und bis auf die Integrationskonstante eindeutige) '''Lösung''' formal zu bestimmen. Die gefundene Lösungsfunktion liefert eine vollständige Beschreibung des betrachteten Problems über den gesamten definierten Verlauf. In den meisten Fällen sind diese gefundenen Lösungsfunktionen auch stetig und bieten daher eine kontinuierliche Problemlösung.<br />
Es gibt aber viele Integrale und damit Differentialgleichungen, die man nur äußerst '''mühselig''' oder in vielen Fällen '''überhaupt nicht''' exakt lösen kann!<br />
Mathematiker gehen daher oft den - nebenbei auch bei der Automatisation der Lösungsalgorithmen mit dem Computer meist schnelleren - Weg, die Probleme '''näherungsweise''' zu lösen. Sie setzen also auf Näherungsverfahren, die das vorliegende Problem für eine diskrete (endliche) Zahl von Punkten möglichst genau lösen. Sie ersetzen also die vollständige Integration einer Funktion durch die näherungsweise Berechnung (des bestimmten Integrals) in einem bestimmten Bereich, für den sie sich interessieren. Für diese Näherung / Diskretisierung gibt es verschiedene, unterschiedlich genaue - unterschiedlich komplexe Verfahren.

Grundsatz:
Der '''Differentialquotient''' wird näherungsweise durch den dazugehörigen '''Differenzenquotienten''' beschrieben.

<math>\frac {dy(x)}{dx}</math> beschrieben durch 
<math>\frac {\Delta y}{\Delta x}
=
\frac {y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}</math>

Die bekanntesten Näherungsverfahren
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersches_Polygonzugverfahren Euler-Cauchy-Verfahren]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren Newton-Verfahren]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren]

Eine Beschreibung der Verfahren findest Du bei [http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/RungeKutta.html Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999]


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