Quelltext der Seite Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum

Als <b>logistische Gleichung</b> wird eine Differenzengleichung der Form <math>x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n})</math> bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke (eine maximale Populationszahl) zu modellieren. Die <math>\,x_{i}</math> liegen im Intervall zwischen <math>\,0</math> und <math>\,1</math> und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten <math>r</math> sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus: <br><br> <math>f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))</math>

Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, was unterhalb für Dich durchgerechnet ist. Zur besseren Lesbarkeit wird statt <math>\,f(t) </math> einfach <math>\,f</math>geschrieben.  <br><br>
<math>
\frac{df}{dt}=r\cdot f\cdot (1-f) 
</math>

<math>
\frac{df}{f\cdot (1-f)}=r \cdot dt
</math>

<math>
\int \frac{df}{f\cdot (1-f)}=\int r \cdot dt 
</math>

<math>
\int \frac{A}{f}+\frac{B}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt 
</math>

Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für <math>\,A </math> und <math>\,B </math> jeweils den Wert <math>\,1 </math>.

<math>
\int \frac{1}{f}+\frac{1}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt 
</math>   

<math>
ln f - ln(1-f) = r\cdot t + C
</math>

<math>
ln \frac{f}{1-f} = r\cdot t + C
</math>

<math>
\frac{f}{1-f} = e^{r\cdot t + C}
</math>

<math>
f = e^{r\cdot t + C}(1-f)=e^{r\cdot t + C}-e^{r\cdot t + C}\cdot f
</math>


<math>
f+e^{r\cdot t + C}\cdot f = e^{r\cdot t + C}
</math>

<math>
f\cdot(e^{r\cdot t + C}+1) = e^{r\cdot t + C}
</math>

<math>
f = \frac{e^{r\cdot t + C}}{(e^{r\cdot t + C}+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{r\cdot t + C}}}
</math>

Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:

<math>
f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +C}}
</math>
<br><br>
[[:Bild:Logistisches_wachstum.png|<b>Graph der Funktion in besserer Auflösung!</b>]] [[Datei:Logistisches wachstum.png|miniatur|x150px|Graph der logistischen Funktion]] (png-Datei, 5 kB)
<br>
Die Integrationskonstante <math>\,C </math> kann mittels der Anfangsbedingung <math>\,A(0/f_{0})</math> ermittelt werden.

<math>
f_{0}=\frac{1}{1+e^{-r\cdot 0 +C}}=\frac{1}{1+e^{C}}
</math>

<math>
f_{0}\cdot(1+e^{C})=1
</math>

<math>
1+e^{C}=\frac{1}{f_{0}}
</math>

<math>
e^{C}=\frac{1}{f_{0}}-1
</math>

<math>
C=ln(\frac{1}{f_{0}}-1)
</math>

mit <math>\,f_{0}<0</math>, da die maximale Population auf <math>\,1 </math> normiert ist. <br><br>

Die komplette Lösung lautet nun:

<math>
f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +ln(\frac{1}{f_{0}}-1)}}
</math>

Link:
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Logistisches_Wachstum Wikipedia]


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