Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | :<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | ||
− | Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" | + | Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: |
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math> | :<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math> | ||
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+ | Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. | ||
Version vom 28. Januar 2009, 17:45 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.
Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:
Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiele
In der Regel hat eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
- .
Aus negativen Zahlen kann man dagegen keine Quadratwurzel ziehen, denn:
- , nicht definiert.
- , aber auch
Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.
kurz nachgedacht
- asd asd
- asd asd asd
- aasdd