Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>y\,\, =x^{\frac 1 3}, \quad \quad |\,(\,)^3</math><br />
 
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<math>y^3 =x^{\frac 3 3} = x. </math>
 
<math>y^3 =x^{\frac 3 3} = x. </math>
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<math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
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<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3} &|&|\,(\,)^3 \\
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y^3  &=& x^{\frac 3 3} &|& \end{matrix}</math>
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=== Beispiel ===
 
=== Beispiel ===

Version vom 29. Januar 2009, 10:50 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form \textstyle - \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: -1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
kommt noch



Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n wird definiert:
a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n} für a \neq 0.


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

x^{-\frac 1 n}= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion f(x)=x^{-\frac{1}{n}} den Definitonsbereich D = IR+.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion g(x)=\sqrt{x} nur auf IR+ definiert, das heißt ihr Definitionsbereich M =IR+.
Aufgrund des Zusammenhangs f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)} überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g auf die Funktion f.

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei f eine Potenzfunktion, definiert durch f(x)=x^{\frac 1 3}. Gesucht ist die Umkehrfunktion f^{-1} von f (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von f^{-1} und f(x)=x^{-1}!).

f^{-1} ergibt sich aus f durch Auflösen nach x. Es ist:
y\,\, =x^{\frac 1 3}, \quad \quad |\,(\,)^3
y^3 =x^{\frac 3 3} = x.

f^{-1} ergibt sich aus f durch Auflösen nach x. Es ist:
\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3} &|&|\,(\,)^3 \\ y^3 &=& x^{\frac 3 3} &|& \end{matrix}


Beispiel

Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch f(x)=x^{- \frac 1 3} mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f^{-1}.

Auflösen nach x ergibt:
y =x^{- \frac 1 3},
y^3 =x^{- \frac 3 3} = x^{-1} = \textstyle \frac 1 x,
x\cdot y^3 = 1,
x = \textstyle \frac{1}{y^3} = y^{-3}.

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

  • Spiegeln
  • Strecken
  • Stauchen
  • Schieben
  • Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

test zone

\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ &=& n^2 + 2n + 1\end{matrix}

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