Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. Januar 2009, 14:01 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN
- 1.1 Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
2 Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
3 Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
4 Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"
5 APPLET
6 test zone

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $\textstyle - \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Aufgabe 1

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

[Lösung anzeigen]

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$ $= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

Aufgabe 2

Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion $f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$ den Definitonsbereich D = IR⁺.

[Lösung anzeigen]

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $g$ eine Potenzfunktion, definiert durch $g(x)=x^{\frac 1 3}$ . Gesucht ist die Umkehrfunktion $g^{\,-1}=:f$ von $g$ .

$g^{\,-1}$ ergibt sich aus $g$ durch Auflösen nach $x$ . Es ist:
$\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\ y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\ &=& x. &\,& && \end{matrix}$

Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt schließlich die gesuchte Funktion: $f(x)=x^3$ .

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{- \frac 1 3}$ mit Definitionsbereich ID = IR⁺. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ .

Auflösen nach $x$ ergibt:
$\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\ y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\ &=& x^{-1}, && \\ &=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\ x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\ x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\ &=& y^{-3}.&& \end{matrix}$

Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$ !

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktione der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart $f(x) = x^{\frac 1 n}$ mit $n\geq2$ sind Potenzfunktionen der Bauart $f(x) = x^n.$

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart $f(x) = x^{- \frac 1 n}$ mit $n\geq2$ sind Potenzfunktionen der Bauart $f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}$ .

Aufgabe 3

Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkerfunktion gibt?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

Spiegeln
Strecken
Stauchen
Schieben
Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

test zone

$\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ &=& n^2 + 2n + 1\end{matrix}$

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
-In wieweit kann man zu einer vorgegebenen Potenzfunktion eine Umkehrfunktion finden?<br />
+Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkerfunktion gibt?<br />
 Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br />
 {{Lösung versteckt| kommt noch }}

Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. Januar 2009, 14:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Beispiel

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Zusammenfassung

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

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Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

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