Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
| − | Es sei stets | + | Es sei stets <math>\mathbb N_0 = \left\{ 0,1,2,\dots \right\}</math> und <math>\mathbb N = \left\{ 1,2,3,\dots \right\}</math>, insbesondere also <math>\mathbb N_0 \neq \mathbb N</math>.<br /> |
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>. | '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>. | ||
Version vom 22. Februar 2009, 18:06 Uhr
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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN
Es sei stets 
und 
, insbesondere also 
.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form 
mit 
als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: 
.
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
Aufgabe 1
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl
und eine natürliche Zahl 
wird definiert:
für 
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
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den Definitonsbereich D = IR+.
nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich 
IR+u {0}.![f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}](/images/math/d/f/f/dffb5aedde565c318a02642cbcd56b38.png)
überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g auf die Funktion f.Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel
Es sei  eine Potenzfunktion, definiert durch  . Gesucht ist die Umkehrfunktion  von .
Vertauschen von |
|
ergibt sich aus 
. Es ist:
ergibt schließlich die gesuchte Funktion: 
.
Beispiel
Es sei  eine Potenzfunktion, nun definiert durch  mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion  .
Auflösen nach |
|
Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und 
!
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit 
für 
sind Potenzfunktionen mit 
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit 
für sind Potenzfunktionen mit 
.
Aufgabe 3
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkerfunktion gibt? |
*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip
freiwillig
Die "5 S" lauten:
- Spiegeln
- Strecken
- Stauchen
- Schieben
- Superponieren
Aufgabe 4
Schau Dir dieses Video (Link hier) auf www.oberprima.com an und beantworte dann die folgenden Fragen:
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*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen
(freiwillig)
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Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form mit
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zusammengesetzt.
