Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Die "5 S" lauten:
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Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernstu Du die Merkregel der "5 S" kennen; sie lauten:
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* Spiegeln
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* '''S'''piegeln
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* Strecken
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* '''S'''trecken
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* Stauchen
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* '''S'''tauchen
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* Schieben
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* '''S'''chieben
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* Superponieren
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* '''S'''uperponieren
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Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an und beantworte dann die folgenden Fragen:
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Beantworte nun die folgenden Fragen:
 
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
 
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
 
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
 
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?

Version vom 28. März 2009, 23:01 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Inhaltsverzeichnis

 [Verbergen] 

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
[Lösung anzeigen]


Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n wird definiert:
a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n} für a \neq 0.


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

x^{-\frac 1 n}= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion f(x)=x^{-\frac{1}{n}} den Definitonsbereich D = IR+.

[Lösung anzeigen]

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch g(x)=x^{\frac 1 3}. Gesucht ist die Umkehrfunktion g^{\,-1}=:f von g.

g^{\,-1} ergibt sich aus g durch Auflösen nach x. Es ist:
\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\ y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\ &=& x. &\,& && \end{matrix}

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)=x^3.

Beispiel

Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch f(x)=x^{- \frac 1 3} mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f^{-1}.

Auflösen nach x ergibt:
\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\ y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\ &=& x^{-1}, && \\ &=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\ x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\ x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\ &=& y^{-3}.&& \end{matrix}

Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f^{-1} und f(x)=x^{-1}!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit f(x) = x^{\frac 1 n} für n\geq2 sind Potenzfunktionen mit f(x) = x^n.

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit f(x) = x^{- \frac 1 n} für n\geq2 sind Potenzfunktionen mit f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}.

  Aufgabe 3  Stift.gif

Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!
[Lösung anzeigen]


*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)


  Aufgabe 4  Stift.gif

Schau Dir dieses Video (Link hier) auf www.oberprima.com an. Dort lernstu Du die Merkregel der "5 S" kennen; sie lauten:

  • Spiegeln
  • Strecken
  • Stauchen
  • Schieben
  • Superponieren

Beantworte nun die folgenden Fragen:

  1. Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
  2. Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
  3. Wo gehen die Variationsmöglichkeiten über die im Video vorgestellten hinaus?


*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)



Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

f(x)=a\cdot x^q

mit a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \} zusammengesetzt.

  Aufgabe 5  Stift.gif

Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:

  1. Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
  2. Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.
    Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
  3. Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
  4. Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
  5. Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?


Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.
Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen?
Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
Maehnrot.jpg Und nun gehts zum Abschlusstest

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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