Version vom 4. Januar 2011, 12:47 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
Aufgabe 1
- Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
- Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
- Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
- Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
- zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten . Dann gilt:
- Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
- Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Für sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.
- zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
- Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall gilt nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten sind Vielfache von 2, also von der Art für alle ; dann gilt: für alle
- Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige ist und damit insbesondere für .
- zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
- Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für bzw. werden die Funktionswerte größer.
- zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
- Symbolisch .
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Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
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Aufgabe 5
Wir betrachten wieder die Funktionen mit , n eine natürliche Zahl
- Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
- Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
- zu 1.) Lösung: und
- Begründung: An der Stelle ist
- und an der Stelle ist
- zu 2.) Es gibt keine Lösung!
- Begründung:
- Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion mit ungeradem (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
- Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter sein (vgl. Aufgabe 4).
- Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss gelten.
- Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da für
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Teste Dein Wissen
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.
Hier geht es weiter.
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