Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Als <b>logistische Gleichung</b> wird eine Differenzengleichung der Form <math>x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n})</math> bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke zu modellieren. Die <math>\,x_{i}</math> liegen im Intervall zwischen <math>\,0</math> und <math>\,1</math> und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten <math>r</math> sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus: <br><br> <math>f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))</math | + | Als <b>logistische Gleichung</b> wird eine Differenzengleichung der Form <math>x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n})</math> bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke (eine maximale Populationszahl) zu modellieren. Die <math>\,x_{i}</math> liegen im Intervall zwischen <math>\,0</math> und <math>\,1</math> und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten <math>r</math> sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus: <br><br> <math>f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))</math> |
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+ | Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, was unterhalb für Dich durchgerechnet ist. Zur besseren Lesbarkeit wird statt <math>\,f(t) </math> einfach <math>\,f</math>geschrieben. <br><br> | ||
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Die Integrationskonstante <math>\,C </math> kann mittels der Anfangsbedingung <math>\,A(0/f_{0})</math> ermittelt werden. | Die Integrationskonstante <math>\,C </math> kann mittels der Anfangsbedingung <math>\,A(0/f_{0})</math> ermittelt werden. | ||
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Aktuelle Version vom 24. August 2011, 13:27 Uhr
Als logistische Gleichung wird eine Differenzengleichung der Form bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke (eine maximale Populationszahl) zu modellieren. Die liegen im Intervall zwischen und und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus:
Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, was unterhalb für Dich durchgerechnet ist. Zur besseren Lesbarkeit wird statt einfach geschrieben.
Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für und jeweils den Wert .
Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:
Die Integrationskonstante kann mittels der Anfangsbedingung ermittelt werden.
mit , da die maximale Population auf normiert ist.
Die komplette Lösung lautet nun:
Link:
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