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| − | Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg das wichtige Thema "Quadratische Funktionen".
| + | '''[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] |
| − | Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.
| + | ''' |
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| − | {{Kompetenzen| | + | {{Kasten 1002| |
| | + | HINTERGRUND = #eeeee6| |
| | + | BORDER = grey| |
| | + | BACKGROUND = #00008B| |
| | + | BREITE =100%| |
| | + | ÜBERSCHRIFT =Einführung in quadratische Funktionen| |
| | + | BILD = Pentagramm.png|50px| |
| | + | INHALT1=Die Einführung in das Thema "Quadratische Funktionen" erfolgt am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges. Nachdem auf diese Weise der Begriff der reinquadratischen Funktion erarbeitet worden ist, wird die allgemeine Form vor allem durch Experimentieren am Graphen erarbeitet. |
| | + | Interaktive Übungen tragen zum Verständnis bei und helfen das Erarbeitete zu festigen. | |
| | + | INHALT1a= |
| | + | <span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']]</span> |
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| − | VORHER=
| + | :<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']]</span> |
| − | *Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
| + | |
| − | *Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
| + | |
| − | *von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
| + | |
| − | *Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
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| − | NACHHER=
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| − | *Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
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| − | *Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
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| − | *Bei quad. Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
| + | |
| − | *Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben
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| − | }}
| + | ::<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] </span> |
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| − | == Tabelle, Graph und Formel == | + | :::<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|'''4. Anhalteweg''']]</span> |
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| − | Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?
| + | ::::<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|'''5. Übungen 2''']]</span> |
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| − | Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:
| + | :::::<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine_quadratische_Funktion|'''6. Allgemeine quadratische Funktion''']]</span> |
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| − | {|border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" width="200"
| + | ::::::<span style="color:groove;font-size:11pt;">[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|'''7. Übungen 3''']]</span> |
| − | |align = "right"|'''Geschwindigkeit (in km/h)'''
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">10</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">20</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">30</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">40</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">50</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">80</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">100</font>
| + | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">120</font>
| + | |
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| − | |- | + | | |
| − | |align = "right"|''' Bremsweg (in m)''' | + | INHALT1b=[[Bild:parabelbrems.gif|center]] |
| − | |align = "right"|<font size = "3">1</font>
| + | | |
| − | |align = "right"|<font size = "3">4</font>
| + | INHALT2=Kompetenzen:| |
| − | |align = "right"|<font size = "3">9</font>
| + | INHALT2a='''Das kannst du schon:''' |
| − | |align = "right"|<font size = "3">16</font>
| + | *Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln |
| − | |align = "right"|<font size = "3">25</font> | + | *Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra) |
| − | |align = "right"|<font size = "3">64</font>
| + | *von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen |
| − | |align = "right"|<font size = "3">100</font>
| + | *Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
| − | |align = "right"|<font size = "3">144</font>
| + | | |
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| − | |} | + | INHALT2b='''Das kannst du lernen:''' |
| | + | *Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell |
| | + | *Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren |
| | + | *Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln |
| | + | *Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
| | + | | |
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| + | INHALT3=Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /> |
| | + | {{pdf|Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}} |
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=1|
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| − | ARBEIT=
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| − | a) Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.
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| − | b) Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine Ecken haben sollte.)
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| − | c) Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
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| − | : '''Lösung:''' <ggb_applet height="33" width="132" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />
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| | }} | | }} |
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| + | <!-- In der Wiki-Family --> |
| − | | + | [[kas:Quadratische Funktionen]] |
| − | {{Arbeiten|NUMMER=2|
| + | [[rmg:Quadratische Funktionen]] |
| − | ARBEIT=
| + | [[zum-wiki:Quadratische Funktionen/Einführung]] |
| − | a) Hinter den Daten der Wertetabelle steckt ein Muster.
| + | [[zum-wiki:Mathematik-digital/Quadratische Funktionen]] |
| − | Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.
| + | [[zum-wiki:Mathematik-digital/Einführung in quadratische Funktionen]] |
| − | | + | |
| − | b) In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).<br />
| + | |
| − | Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.
| + | |
| − | }}
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
| + | |
| − | |align = "left" width="600"|Im ruhigen Dörfchen Niederbremsbach hat Herr Mütze ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze einen Bremsweg von 30,25 Metern hatte.
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| − | |align = "right"|
| + | |
| − | |align = "right"|[[Bild:unfall1.gif]]
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| − | | + | |
| − | |}
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| − | | + | |
| − | {{Arbeiten|NUMMER=3|
| + | |
| − | ARBEIT=
| + | |
| − | a) Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.<br />
| + | |
| − | b) Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.
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| − | }}
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| − | | + | |
| − | <br />
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| − | | + | |
| − | ----
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| − | {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
| + | |
| − | |align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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| − | |align = "left"|Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.<br />
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| − | => [[Quadratische_Funktionen_Bremsbeschleunigung|Hier geht es weiter]].
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| − | == Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==
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| − | | + | |
| − | Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten "Bremsverzögerung" zum Ausdruck.
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| − | Die Bremsverzögerung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsverzögerung spricht also für einen kurzen Bremsweg.
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| − | In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsverzögerung berücksichtigt werden. In lehrbüchern findet man die Formel:<br />
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| − | <math>s=\frac{v^2}{2a}</math>
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| − | (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsverzögerung in m/s²).
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| − | | + | |
| − | In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg variiert werden.
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| − | | + | |
| − | <ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
| + | |
| − | | + | |
| − | <br />
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| − | {{Arbeit|
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| − | ARBEIT=
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| − | Wie muss a gewählt werden, damit ...<br />
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| − | a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br />
| + | |
| − | b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br />
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| − | c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?
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| − | }}
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| − | == Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==
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| − | {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
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| − | |align = "left" width="280"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br />
| + | |
| − | Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).<br />
| + | |
| − | Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br /><br /><br /><br /><br /><br />
| + | |
| − | |align = "right"|
| + | |
| − | |align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" />
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| − | |}
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| − | {{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.
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| − | Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}
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| − | == Der Anhalteweg ==
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| − | Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der ''Anhalteweg'' nicht allein der reine ''Bremsweg'' ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte ''Reaktionsweg'' hinzukommt.<br />
| + | |
| − | Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die ''Reaktionszeit'') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man Reaktionsweg.
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| − | {{Arbeit|
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| − | ARBEIT=
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| − | a) Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger ist als eine Sekunde. Berechne den Reaktionsweg, der sich bei einer Geschwindigkeit von <br />
| + | |
| − | : (1) 30 km/h, (2) 50 km/h, (3) 100 km/h<br />
| + | |
| − | aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.<br />
| + | |
| − | b) Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus.<br />
| + | |
| − | c) Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann.<br />
| + | |
| − | d) In der Fahrschule lernt man folgende Formeln:<br />
| + | |
| − | :Reaktionsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal drei<br />
| + | |
| − | :Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10<br />
| + | |
| − | :Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg<br />
| + | |
| − | Vergleiche die Fahrschulformeln mit deinen bisherigen Ergebnissen.}}
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| − | == Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg ==
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| − | Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit variiert werden. <br />
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| − | | + | |
| − | <ggb_applet height="400" width="800" filename="Anhalteweg.ggb" />
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| − | <br />
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| − | {{Arbeit|
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| − | ARBEIT=
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| − | a) Experimentiere mit dem Applet.<br />
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| − | b) Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben.<br />
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| − | c) Bei welchem Wert für a ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h ungefähr 70 m lang?
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| − | = Interaktive Übungen =
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| − | Liebe Gabi, könntest du diesen Teil übernehmen?
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| − | = Arbeitsblätter und Links =
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| − | == Arbeitsblätter ==
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| − | *[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]
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| − | == Links ==
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| − | *Ideen zum Thema [[Quadratische_Funktion/Wurfparabel|"Wurfparabel"]]
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| − | *[http://wiki.zum.de/Quadratische_Funktion Allgemeines zu Quadratischen Funktionen]
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| − | *{{wpde|Bremsweg|Bremsweg bei Wikipedia}}
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| − | {{Information|
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| − | TITEL= Allgemeine Überlegungen|
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| − | INFO= Term -> Graph - Graph -> Term [Geogebra-Schieberegler] - Nullstellen - Scheitel
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| − | {{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und Gabi Jauck}}
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