Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
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==2. Stufe==
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen. ==
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=== Gerade Potenzen ===
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Wir betrachten also jetzt die Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
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'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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# Verändere mit dem Schiebregler den Wert von n. Beschreibe das Verhalten der jeweiligen Graphen!
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{| cellspacing="10"
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die vom Übergang von n = -4 zu n = -6 usw.!
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|- style="vertical-align:top;"
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die vom Übergang von n = -3 zu n = -5 usw.!
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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#* Symmetrie
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#* Monotonie
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
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# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
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:{{Lösung versteckt|
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:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k</math>-facht. <br>
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:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>.
 
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=== Ungerade Potenzen ===
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'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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# Wir betrachten die Graphen zu f(x) = a*x<sup>-2</sup> + c. Beschreibe die Veränderung des Graphen bei der Veränderung der Parameter a und c!
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{| <!--class="prettytable sortable" -->
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>-n</sup> + c bei der Veränderung der Parameter a und c!
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# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
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#* Symmetrie
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#* Monotonie
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
 
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=== Teste dein Wissen ===
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
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# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
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# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
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:{{Lösung versteckt|
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:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
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:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>.
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== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
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'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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}}
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|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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filename="4_axn.ggb" />
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{| <!--class="prettytable sortable"-->
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|-  style="vertical-align:top;"
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| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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filename="4_axn_test.ggb" />
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||
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
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Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
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:{{Lösung versteckt|
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: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
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: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
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}}<br>
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|}
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=== Teste Dein Wissen ===
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* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
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* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]

Version vom 15. Januar 2009, 19:46 Uhr

Start -Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\frac 1k-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x).


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Der Punkt P(2;32) wird für n=5 durchlaufen: f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32.
Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n=3 durchlaufen: f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375.


Die Graphen von f(x) = a*xn, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*xn, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^2. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^n bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^n, n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
1. a = -0.5, n = 3
2. Es gibt keine Lösung, denn ...


Teste Dein Wissen

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