Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 29: Zeile 29:
 
=== Ungerade Potenzen ===
 
=== Ungerade Potenzen ===
  
−
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
+
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
  
 
{| <!--class="prettytable sortable" -->
 
{| <!--class="prettytable sortable" -->
Zeile 42: Zeile 42:
 
#* größte und kleinste Funktionswerte
 
#* größte und kleinste Funktionswerte
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
+
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
 
}}
 
}}
 
|}
 
|}
Zeile 48: Zeile 48:
 
=== Teste dein Wissen ===
 
=== Teste dein Wissen ===
 
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
 
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
−
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
+
TODO: Neue Aufgaben (?)
 +
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
 
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
 
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
 
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
 
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
−
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
+
:TODO: Lösung
−
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>.
+
 
}}
 
}}
 
}}
 
}}
  
−
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
+
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>-n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
  
−
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
+
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
  
 
{| <!--class="prettytable sortable"-->  
 
{| <!--class="prettytable sortable"-->  
 
|-  style="vertical-align:top;"
 
|-  style="vertical-align:top;"
 
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=  
 
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=  
−
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
+
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
+
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
 
}}
 
}}
 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
Zeile 79: Zeile 79:
 
||  
 
||  
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
−
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
+
TODO: Neue Aufgaben
 +
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math>, n eine natürliche Zahl
 
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
 
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
 
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
−
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
+
: TODO: Lösung}}
−
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
+
 
}}<br>
 
}}<br>
  

Version vom 15. Januar 2009, 19:53 Uhr

Start -Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\frac 1k-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x).


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^{-n}, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

TODO: Neue Aufgaben (?) Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
TODO: Lösung


Die Graphen von f(x) = a*x-n, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n} , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^{-2}. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^{-n} bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

TODO: Neue Aufgaben Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n}, n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
TODO: Lösung


Teste Dein Wissen

Von „http://medienvielfalt.zum.de/index.php?title=Potenzfunktionen_-_2._Stufe&oldid=1773“