Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 5: Zeile 5:
  
 
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''
 
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''
 +
 +
= Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 =
 +
 +
Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche unterschiede?
 +
Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?
 +
 +
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
 +
  
 
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
 
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  

Version vom 19. Januar 2009, 12:10 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben.

Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2

Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche unterschiede? Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?

Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.


Potenzen und Wurzeln

Potenzfunktionen der Bauart f(x)=x^{\frac{1}{n}} und Wurzelfunktionen g(x)=\sqrt[n]{x} hängen eng zusammen, denn es gilt:

x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x

Beispiele:

  • 16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4, aber
  • -16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}, nicht definiert!
  • \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3, aber auch
  • \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.

Von „http://medienvielfalt.zum.de/index.php?title=Potenzfunktionen_-_3._Stufe&oldid=1884“