Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
| − | Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN. | + | Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br /> |
| − | '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' | + | '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>. |
| − | === Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 | + | === Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 == |
| − | Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche | + | * Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede? |
| − | Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind? | + | * Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind? |
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n. | Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n. | ||
Version vom 19. Januar 2009, 15:56 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form 
mit 
als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: 
.
= Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2
- Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
- Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
Potenzen und Wurzeln
Potenzfunktionen der Bauart 
und Wurzelfunktionen ![g(x)=\sqrt[n]{x}](/images/math/f/5/c/f5c0dce3d90d2f6d2d7c95d0201371cf.png)
hängen eng zusammen, denn es gilt:
![x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}](/images/math/4/9/9/4999dd3cabd40b13e2c72e4dd52f4963.png)
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
![\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x](/images/math/a/1/0/a1011f18347a9ec8e5361e70a5d11b8e.png)
Beispiele:
-
, aber
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, nicht definiert!
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![\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3](/images/math/8/2/c/82cd472932df81e17bdcd6ee2c6016b0.png)
, aber auch
-
![\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.](/images/math/4/d/e/4de51cf4808947da7d0837127feeecf1.png)
