Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Beispiel: Quadratwurzel)
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=== Beispiel: Quadratwurzel ===
 
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Eine positive Zahl <math>x>0</math> hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
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[[Bild:diagonale.png|right|120px]] Eine positive Zahl <math>x>0</math> hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
 
* <math>16 = \begin{cases} \quad 4\cdot \quad 4 &= \, \quad 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = \pm 4</math>.
 
* <math>16 = \begin{cases} \quad 4\cdot \quad 4 &= \, \quad 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = \pm 4</math>.
 
In manchen Fällen (etwa wenn es um die von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.
 
In manchen Fällen (etwa wenn es um die von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.
  
[[Bild:diagonale.png|right|120px]] Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2,</math>) zu:
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Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2,</math>) zu:
 
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2}.</math>
 
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2}.</math>
  

Version vom 28. Januar 2009, 21:59 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form \textstyle \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: 0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x).



Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion f mit der Gleichung f(x)=\sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N}, n\geq2 heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart f(x)=x^{\frac{1}{n}} und Wurzelfunktionen g(x)=\sqrt[n]{x} hängen eng zusammen, denn es gilt:

x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}


Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x


Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}


Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: x^{\frac{1}{3}} bzw. \sqrt[3]{x}.


Beispiel: Quadratwurzel

Diagonale.png
Eine positive Zahl x>0 hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
  • 16 = \begin{cases} \quad 4\cdot \quad 4 &= \, \quad 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = \pm 4.

In manchen Fällen (etwa wenn es um die von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.

Beispielsweise ergibt sich die Länge d der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge a=1 über den Satz des Pythagoras (a^2 + a^2 = d^2,) zu:

a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2}.


Die mathematisch richtige Lösung \textstyle d=-\sqrt{2} ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.

Beispiel: Kubikwurzel

  • \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3, aber auch



Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+

Offenbar ergibt die Wurzelfunktion f(x)=\sqrt[n]{x} zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:

  • \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,
  • \sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:

-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

f(x) = \sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N} und \mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}.

Dann gilt: IDg = IR.

kurz nachgedacht

  • asd asd
  • asd asd asd
  • aasdd