Potenzfunktionen - 5. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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<ol><li value="2"> Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt f(x) = x<sup>p/q</sup> mit <math>p,q \in \mathbb{Z}</math>?</li></ol>
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<ol><li value="2"> Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt <math>f(x) = x^{\frac pq}</math> mit <math>p,q \in \mathbb{Z}</math>?</li></ol>
 
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:Man erhält keine neuen Funktionen, wenn man auch für den Nenner des Exponenten negative Zahlen einsetzt. Denn der Exponent bleibt weiterhin ein Bruch und kann positiv oder negativ werden. Das kann aber bereits erreicht werden, indem im Zähler eine ganze Zahl <math>p \in \mathbb{Z}</math> und im Nenner eine natürliche Zahl <math>q \in \mathbb{N}</math>steht.
 
:Man erhält keine neuen Funktionen, wenn man auch für den Nenner des Exponenten negative Zahlen einsetzt. Denn der Exponent bleibt weiterhin ein Bruch und kann positiv oder negativ werden. Das kann aber bereits erreicht werden, indem im Zähler eine ganze Zahl <math>p \in \mathbb{Z}</math> und im Nenner eine natürliche Zahl <math>q \in \mathbb{N}</math>steht.

Version vom 21. Februar 2009, 18:47 Uhr

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xp/q, p ∈ Z und q ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen Bruch der Form \textstyle - \frac{p}{q} mit p \in \mathbb{Z} und q \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Man spricht dann von Potenzfunktionen mit gebrochen rationalem Exponenten.


Vergleich mit Funktionen aus vorangegangenen Stufen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus vorangegangenen Stufen dieses Kurses kennst (rot und lila gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
[Lösung anzeigen]
  1. Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt f(x) = x^{\frac pq} mit p,q \in \mathbb{Z}?
[Lösung anzeigen]





Die Graphen der Potenzfunktion mit f(x) = a xp/q

Fasst man alle Variationsmöglichkeiten der Potenzfunktion der vorangegangenen Stufen zusammen, so erhält man die Potenzfunktion f(x) = a \cdot x^{\frac pq} mit den Variablen a \in \mathbb{R}, \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}.


  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Welchen der nebenstehenden Schieberegler für a, p und q muss man verändern, damit man
    • eine Hyperbel
    • eine Parabel
    • einen monoton fallenden Graphen
    • eine monton fallende Gerade
erhält, während die anderen beiden Schieberegler auf 1 bleiben.
[Lösung anzeigen]
  1. Beschreibe zu verschiedenen Funktionen f(x)=1 \cdot x^{\frac pq} die Veränderung des Graphen, wenn a>1 oder a<0 ist.


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