Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. März 2009, 22:18 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, n ∈ IN
2 Die Graphen von f(x) = a x^-n, mit a ∈ IR
- 2.1 Teste Dein Wissen

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-2 zu f(x) = x^-4, dann die beim Übergang von f(x) = x^-4 zu f(x) = x^-6 usw.!
Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x^-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver- $\frac {1}{k^n}$ -facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac {1}{k^n} \cdot f(x)$ .

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen $f(x)=x^n$ und $f(x)=x^{-n}$ kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^n$ und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
Für $f(x)=x^2$ heißt der Graph Normalparabel; für $f(x)=x^3$ dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).

Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^{-n}$ und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit $f(x) = x^{-n}$ , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-1 zu f(x) = x^-3, dann die beim Übergang von f(x) = x^-3 zu f(x) = x^-5 usw.!

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x^-n, n eine natürliche Zahl

Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt $P(2;\frac{1}{16})$
Für welches n verläuft der Graph durch $Q \left( 0,5;8 \right)$ ?

Die Lösung ist $n=4$ , dann gilt nämlich $f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}$ .
Die Lösung ist $n=3$ , dann gilt nämlich $f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8$

Die Graphen von f(x) = a x^-n, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^{-2}$ . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
Beschreibe die Veränderung der Graphen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ , n eine natürliche Zahl

Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

$a = 2, n = 1$ .
Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.

Teste Dein Wissen

Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten.

Hier geht es weiter.

@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 * [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
 * [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
+----
+{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
+|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
+|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten.'''<br />
+[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
+|}

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Die Graphen von f(x) = a x^-n, mit a ∈ IR