Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. März 2009, 14:22 Uhr

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Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\textstyle \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN
- 1.1 Funktionsgraph kennenlernen
- 1.2 Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
2 Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln
- 2.1 Beispiel: Quadratwurzeln
- 2.2 Beispiel: Kubikwurzel
3 Einfluss von Parametern
4 *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
- 4.1 Einschränkung auf IR⁺₀
- 4.2 Wurzelfunktion auf ganz IR

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Funktionsgraph kennenlernen

Aufgabe 1

Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für $n \in \{2,3,4,5\}$ .

Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

zu 1) Der Definitionsbereich ist ${\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}$ . Der kleinste Funktionswert $y=0$ wird für $x=0$ angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets $1^r=1$ für alle $r \in \mathbb{R}$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Aufgabe 2

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert $y=0$ wird für $x=0$ angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets $1^r=1$ für alle $r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ , $n \in \mathbb{N}.$

Wegen $x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$ nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR⁺₀. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion $f$ mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion $g$ der Bauart $g(x)=x^n$ und $g$ die Umkehrfunktion zu $f$ (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle $n=2$ nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}$

Im Falle $n=3$ nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$ . Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge $d$ der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge $a=1$ über den Satz des Pythagoras ( $a^2 + a^2 = d^2$ ) zu:

$a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist $\textstyle d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale $D$ im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $d^2 + s^2 = D^2$ ) zu:

$\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist also $\textstyle D = \sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen $V$ eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge $s=5$ ergibt sich über:

$V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen $V=27$ durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

Einfluss von Parametern

Aufgabe 3

In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter $a$ und $c$ mit den Schiebereglern verändern.

Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?

Der Parameter $a$ bewirkt für $a>1$ eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für $0<a<1$ eine Stauchung in y-Richtung; für $a=0$ erhält man eine konstante Funktion mit $f(x)=c$ . Wird $a$ negativ, so wird $f$ zu einer monoton fallenden Funktion.
Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert $y$ der Wert $c$ addiert wird.

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(freilwillig)

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}= -2,$

Wegen

$(-2)^3 = -8$

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

$g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}$ .

Dann gilt: ID_g = IR.

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-Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br />
+Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5\}</math>.<br />
 # Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
 #* Definitionsbereich
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 # Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 :{{Lösung versteckt|
-: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
+: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
-: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
+: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>.
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Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Funktionsgraph kennenlernen

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Beispiel: Quadratwurzeln

Beispiel: Kubikwurzel

Einfluss von Parametern

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

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