Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 4. Januar 2011, 12:47 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten n \in \{0,2,4,6,...\}. Dann gilt:
  • Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
  • Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
  • Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n=0 gilt (-1)^0=1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten \textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\} sind Vielfache von 2, also von der Art 2 \cdot k für alle k \in {\Bbb N}; dann gilt: (-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1 für alle k \in {\Bbb N}.
  • Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige r \in {\Bbb R} ist 1^r = r und damit insbesondere für r \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x).


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
zu 1) Wir betrachten hier Exponenten n\in\{1,3,5,7,...\}. Dann gilt:
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für n\in\{3,5,7,...\} haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
  • Der Wertebereich der Funktion ist ganz {\Bbb R}, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).
zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.
Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}. Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: (-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.
Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0^r = 0 und 1^r=1 für alle r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}.

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Der Punkt P(2;32) wird für n=5 durchlaufen: f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32.
Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n=3 durchlaufen: f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375.


Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^n, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^2. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^n bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion mit f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^n, n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.


zu 1.) Lösung: a=-0,5 und n=3.
Begründung: An der Stelle x=1 ist f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5
und an der Stelle x=-2 ist f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4
zu 2.) Es gibt keine Lösung!
Begründung:
  • Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion f(x)=a\cdot x^n mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
  • Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a=1 sein (vgl. Aufgabe 4).
  • Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3 gelten.
Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die (0,\!5)^n=3 erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da (0,\!5)^n \to 1 für n \to \infty.

Teste Dein Wissen


Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

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