Quadratische Funktionen Station10: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Der Anhalteweg ===
  
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== Übungen 3 ==
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Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der '''Anhalteweg''' nicht allein der reine '''Bremsweg''' ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte '''Reaktionsweg''' hinzukommt.<br />
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Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die ''Reaktionszeit''') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man '''Reaktionsweg'''.
  
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<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>
 
  
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Die Funktion '''s(v) = 0,1v<sup>2</sup> + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.
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{{Arbeiten|
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NUMMER=1|
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ARBEIT=
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# Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger als eine Sekunde ist. Berechne den Reaktionsweg , der sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h, 50 km/h, 100 km/h  aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.
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# Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus.
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#Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann.<br />
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#Stelle den Anhalteweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit grafisch dar. Gehe wieder von einer Reaktionszeit von 1 Sekunde aus und verwende a<sub>B</sub> = 5 m/s<sup>2</sup>.
  
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#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit t<sub>R</sub>?
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:{{Lösung versteckt|1=
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#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub>?
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:1. v = 30 km/h <=> 30 km in einer Stunde <=> 30000 m in 3600 Sekunden <=> <math>\frac{30000}{3600}</math> m in 1 Sekunde <=> 8,3 m in einer Sekunde<br>
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#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
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::D.h. bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h und einer Reaktionszeit von 1 Sekunde beträgt der Reaktionsweg ca. 8,3 m. <br>
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#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
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::genauso folgt: v = 50 km/h => Reaktionsweg ca. 13,9 m und v = 100 km/h => Reaktionsweg ca. 27,8 m <br>
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:2. '''Reaktionsweg''' = Geschwindigkeit (in m/s) '''mal''' Reaktionszeit
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<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
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:3. Anhalteweg = Bremsweg + Reaktionsweg bzw. <math>s_A = \frac{1}{2 a_B} \cdot v^2 + t_R \cdot v</math>
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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:4.
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#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. t<sub>R</sub> = 1,5 s
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}}
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#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2a<sub>B</sub> = 10 <=> a<sub>B</sub> = 5 (m/s<sup>2</sup>)
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#s(20) = 0,1·20<sup>2</sup> + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
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#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
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}}
 
}}
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=== Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg ===
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<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>
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Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx'''.
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{{Arbeiten|
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NUMMER=2|
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ARBEIT=
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#Experimentiere mit dem nachfolgenden Applet.
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#Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben.
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#Bei welchem Wert für a<sub>B</sub> ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h und einer Reaktionszeit von 1,5 s ungefähr 70 m lang?
  
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Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.  
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:{{Lösung versteckt|1=
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:1. ---
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:2. Der Anhalteweg ist umso länger,  
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::: je höher die Geschwindigkeit ist,
 +
::: je geringer die Bremsbeschleunigung ist,
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::: je höher die Reaktionszeit ist.
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:3. a = 4,6 m/s<sup>2</sup>
  
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<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;">
 
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'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
 
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Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
 
 
}}
 
}}
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</div>
 
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<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
 
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Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
 
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:* 0 = a·4<sup>2</sup> + b·4  --> b = - 4a
 
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:* - 2 = a·2<sup>2</sup> + b·2 --> b = -1 - 2a
 
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daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
 
 
}}
 
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</div>
 
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|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest-->
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Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit v, Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und Reaktionszeit t<sub>R</sub> variiert werden. <br><br>
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[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
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</div>
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<ggb_applet height="400" width="800" filename="Anhalteweg2.ggb" />
  
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{{Arbeiten|
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NUMMER=3|
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ARBEIT=
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:Es passierte an einem sonnigen Tag, irgendwo auf einer idyllischen Straße durch einen lichten Wald. Herr Meier fuhr in seinem Cabriolet mit entspannten 80 km/h die kerzengerade Straße entlang, als plötzlich 60 m vor ihm ein Hirsch auf die Straße läuft...
  
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:1. Wie geht die Geschichte aus, wenn Herr Meier
  
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<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
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::a) hochkonzentriert auf den Verkehr geachtet hat (t<sub>R</sub> = 1,0 s),
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<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>
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::b) er gerade mit einem Freund telefoniert hat (t<sub>R</sub> = 2,0 s)?
  
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'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''
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:2. Angenommen, Herr Meier hatte zum Mittagessen zwei Bier und einen Verdauungsschnaps getrunken. Seine Reaktionszeit wäre damit auf 2,5 s gestiegen. Wie schnell hätte er höchstens fahren dürfen, um noch rechtzeitig zum Stehen zu kommen?
  
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<div class="lueckentext-quiz">
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:Verwende jeweils a<sub>B</sub> = 7 m/s<sup>2</sup>
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| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
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| <strong> x<sup>2</sup> + 2x</strong>  || <strong> 0,5x<sup>2</sup> + 2x </strong> || <strong>  -x<sup>2</sup> + 2x</strong> ||  <strong>  0,5x<sup>2</sup> - 2x</strong> || <strong>  -x<sup>2</sup> - 2x</strong> ||<strong>  x<sup>2</sup> - 2x</strong>
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<big>'''Aufgabe 4'''</big>
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'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
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:{{Lösung versteckt|1=
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|<div class="multiplechoice-quiz">
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:1. a) s = 57,5 m, d.h. er kommt kurz vor dem Hirsch zum Stehen
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'''f(x) = 2x<sup>2</sup> - 4x'''  (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.)  (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)
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:1. b) s = 79,7 m, d.h. er kommt nicht mehr rechtzeitig zum Stehen
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:2. v = 58 km/h
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}}
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}}
  
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'''f(x) = - 0,25x<sup>2</sup> + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.)  (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt  auf dem Graphen.)
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Den Einfluss der verschiedenen Faktoren auf die Länge des Anhalteweges kannst du auch mit [http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hirsch.html diesem Applet] untersuchen.
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===Allgemein:  f(x) = ax<sup>2 </sup>+ bx===
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|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch '''quadratische Funktionen'''. Sie haben den Funktionsterm '''ax<sup>2 </sup>+ bx'''.
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Wir lassen nun wie oben Aufgabe 3 den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für '''b'''.
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{{Arbeiten|
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NUMMER=4|
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ARBEIT=
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:Untersuche an dem Applet rechts den '''Einfluss von b''' auf den Verlauf des Graphen.
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:#Was bleibt gleich?
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:#Was ändert sich?
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:{{Lösung versteckt|1=
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#Die Weite der Parabel bleibt gleich.  
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#Der Scheitel wird verschoben.
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}}
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{{Arbeiten|  
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NUMMER=5|
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ARBEIT=
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#Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.
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#Setzt den Satz fort: "''Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für'' ...
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:{{Lösung versteckt|1=
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#Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.
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#Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für''' b = 2 und b = -2'''.
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}}
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}}
  
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'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?'''  (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2x) 
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</div>
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|valign="top"|<ggb_applet height="400" width="450" filename="Quadratisch_b.ggb" />
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Version vom 12. Mai 2011, 20:41 Uhr

Der Anhalteweg

Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der Anhalteweg nicht allein der reine Bremsweg ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte Reaktionsweg hinzukommt.
Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die Reaktionszeit') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man Reaktionsweg.


  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger als eine Sekunde ist. Berechne den Reaktionsweg , der sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h, 50 km/h, 100 km/h aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.
  2. Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus.
  3. Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann.
  4. Stelle den Anhalteweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit grafisch dar. Gehe wieder von einer Reaktionszeit von 1 Sekunde aus und verwende aB = 5 m/s2.
1. v = 30 km/h <=> 30 km in einer Stunde <=> 30000 m in 3600 Sekunden <=> \frac{30000}{3600} m in 1 Sekunde <=> 8,3 m in einer Sekunde
D.h. bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h und einer Reaktionszeit von 1 Sekunde beträgt der Reaktionsweg ca. 8,3 m.
genauso folgt: v = 50 km/h => Reaktionsweg ca. 13,9 m und v = 100 km/h => Reaktionsweg ca. 27,8 m
2. Reaktionsweg = Geschwindigkeit (in m/s) mal Reaktionszeit
3. Anhalteweg = Bremsweg + Reaktionsweg bzw. s_A = \frac{1}{2 a_B} \cdot v^2 + t_R \cdot v
4.



Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Experimentiere mit dem nachfolgenden Applet.
  2. Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben.
  3. Bei welchem Wert für aB ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h und einer Reaktionszeit von 1,5 s ungefähr 70 m lang?
1. ---
2. Der Anhalteweg ist umso länger,
je höher die Geschwindigkeit ist,
je geringer die Bremsbeschleunigung ist,
je höher die Reaktionszeit ist.
3. a = 4,6 m/s2


Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit v, Bremsbeschleunigung aB und Reaktionszeit tR variiert werden.


 


  Aufgabe 3  Stift.gif
Es passierte an einem sonnigen Tag, irgendwo auf einer idyllischen Straße durch einen lichten Wald. Herr Meier fuhr in seinem Cabriolet mit entspannten 80 km/h die kerzengerade Straße entlang, als plötzlich 60 m vor ihm ein Hirsch auf die Straße läuft...
1. Wie geht die Geschichte aus, wenn Herr Meier
a) hochkonzentriert auf den Verkehr geachtet hat (tR = 1,0 s),
b) er gerade mit einem Freund telefoniert hat (tR = 2,0 s)?
2. Angenommen, Herr Meier hatte zum Mittagessen zwei Bier und einen Verdauungsschnaps getrunken. Seine Reaktionszeit wäre damit auf 2,5 s gestiegen. Wie schnell hätte er höchstens fahren dürfen, um noch rechtzeitig zum Stehen zu kommen?
Verwende jeweils aB = 7 m/s2
1. a) s = 57,5 m, d.h. er kommt kurz vor dem Hirsch zum Stehen
1. b) s = 79,7 m, d.h. er kommt nicht mehr rechtzeitig zum Stehen
2. v = 58 km/h


Den Einfluss der verschiedenen Faktoren auf die Länge des Anhalteweges kannst du auch mit diesem Applet untersuchen.


Allgemein: f(x) = ax2 + bx

Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch quadratische Funktionen. Sie haben den Funktionsterm ax2 + bx.

Wir lassen nun wie oben Aufgabe 3 den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für b.

  Aufgabe 4  Stift.gif
Untersuche an dem Applet rechts den Einfluss von b auf den Verlauf des Graphen.
  1. Was bleibt gleich?
  2. Was ändert sich?
  1. Die Weite der Parabel bleibt gleich.
  2. Der Scheitel wird verschoben.


  Aufgabe 5  Stift.gif
  1. Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.
  2. Setzt den Satz fort: "Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für ...
  1. Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.
  2. Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für b = 2 und b = -2.
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