Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 24. August 2011, 13:27 Uhr

Als logistische Gleichung wird eine Differenzengleichung der Form x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n}) bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke (eine maximale Populationszahl) zu modellieren. Die \,x_{i} liegen im Intervall zwischen \,0 und \,1 und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten r sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus:

f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))

Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, was unterhalb für Dich durchgerechnet ist. Zur besseren Lesbarkeit wird statt \,f(t) einfach \,fgeschrieben.

\frac{df}{dt}=r\cdot f\cdot (1-f)

\frac{df}{f\cdot (1-f)}=r \cdot dt

\int \frac{df}{f\cdot (1-f)}=\int r \cdot dt

\int \frac{A}{f}+\frac{B}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt

Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für \,A und \,B jeweils den Wert \,1 .

\int \frac{1}{f}+\frac{1}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt

ln f - ln(1-f) = r\cdot t + C

ln \frac{f}{1-f} = r\cdot t + C

\frac{f}{1-f} = e^{r\cdot t + C}

f = e^{r\cdot t + C}(1-f)=e^{r\cdot t + C}-e^{r\cdot t + C}\cdot f


f+e^{r\cdot t + C}\cdot f = e^{r\cdot t + C}

f\cdot(e^{r\cdot t + C}+1) = e^{r\cdot t + C}

f = \frac{e^{r\cdot t + C}}{(e^{r\cdot t + C}+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{r\cdot t + C}}}

Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:

f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +C}}

Graph der Funktion in besserer Auflösung!
Graph der logistischen Funktion
(png-Datei, 5 kB)


Die Integrationskonstante \,C kann mittels der Anfangsbedingung \,A(0/f_{0}) ermittelt werden.

f_{0}=\frac{1}{1+e^{-r\cdot 0 +C}}=\frac{1}{1+e^{C}}

f_{0}\cdot(1+e^{C})=1

1+e^{C}=\frac{1}{f_{0}}

e^{C}=\frac{1}{f_{0}}-1

C=ln(\frac{1}{f_{0}}-1)

mit \,f_{0}<0, da die maximale Population auf \,1 normiert ist.

Die komplette Lösung lautet nun:

f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +ln(\frac{1}{f_{0}}-1)}}

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