Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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* <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.</math> | * <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.</math> | ||
| − | die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei | + | die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. <br />Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik: |
* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | * <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | ||
| − | Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich | + | Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: |
<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | <math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | ||
Version vom 19. Januar 2009, 16:28 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form 
mit 
als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: 
.
Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2
- Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
- Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
Potenzen und Wurzeln
Potenzfunktionen der Bauart 
und Wurzelfunktionen ![g(x)=\sqrt[n]{x}](/images/math/f/5/c/f5c0dce3d90d2f6d2d7c95d0201371cf.png)
hängen eng zusammen, denn es gilt:
![x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}](/images/math/4/9/9/4999dd3cabd40b13e2c72e4dd52f4963.png)
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
![\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x](/images/math/a/1/0/a1011f18347a9ec8e5361e70a5d11b8e.png)
Eine Funktion 
mit der Gleichung ![f(x)=\sqrt[n]{x}](/images/math/8/4/5/845e92e8d6fb632e22343997822d31e4.png)
mit 
heißt Wurzelfunktion
Beispiele:
-
, aber
-
, nicht definiert.
-
![\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3](/images/math/8/2/c/82cd472932df81e17bdcd6ee2c6016b0.png)
, aber auch
Der Definitionsbereich
Offenbar kann man zum Beispiel wegen
![\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.](/images/math/4/d/e/4de51cf4808947da7d0837127feeecf1.png)
die Wurzelfunktionen zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.
Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:
![-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.](/images/math/f/8/3/f8300d418d5fa4c607991617d624c081.png)
Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
mit und 
