Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. Januar 2009, 18:14 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN
- 1.1 Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
2 Potenzen und Wurzeln
3 Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
- 3.1 Einschränkung auf IR⁺
- 3.2 Wurzelfunktion auf ganz IR

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: $0<\frac{1}{n}\leq 1$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Aufgabe 1

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
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HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kⁿ-facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$ .

Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}, n\geq2$ heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ und Wurzelfunktionen $g(x)=\sqrt[n]{x}$ hängen eng zusammen, denn es gilt:

$x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$

Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

$\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$

Beispiele:

$16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4$ , aber
$-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}$ , nicht definiert.
$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3$ , aber auch

Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR⁺

Offenbar kann man zum Beispiel wegen

$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3$ , und
$\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3$

die Wurzelfunktionen $f(x)=\sqrt[n]{x}$ zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.

Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik: $\begin{align} -2 & = \sqrt[3]{-8} \\ & = (-8)^{\frac{1}{3}} \\ & = (-8)^{\frac{2}{6}} \\ & = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} \\ & = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} \\ & = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} \\ & = 2. \end{align}$

| $\begin{align} L & = \lim_{|x| \to \infty}\ \frac{\cos \frac 1x \cdot \frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}\\ & = \lim_{|x| \to \infty} {\cos\frac 1x} \cdot \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{x^2}{-1}\\ & = \cos\frac 1{\infty} = \cos 0 = 1 \end{align}$ |-

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass

$g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}$ . Dann gilt: ID_g = IR.

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