Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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''mit einer natürlichen Zahl n hat den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.''
 
''mit einer natürlichen Zahl n hat den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.''
 
:{{Lösung versteckt|
 
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:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
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:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion g(x)=\sqrt{x} nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup>.<br>  
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:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
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:Wegen der Zusammenhang<font style="vertical-align:0%;"><math>f(x) = x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}</math><math> = \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich von ''g'' auf ''f''.
 
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Version vom 28. Januar 2009, 18:31 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form \textstyle - \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: -1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x).



Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n wird definiert:
a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n} für a \neq 0.


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

x^{-\frac 1 n}= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:
Eine Funktion

f(x)=x^{-\frac{1}{n}}

mit einer natürlichen Zahl n hat den Definitonsbereich D = IR+.

{{{1}}}

= \frac{1}{\sqrt[n]{x}}





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