Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. Januar 2009, 18:45 Uhr

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $\textstyle - \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Aufgabe 1

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kⁿ-facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$ .

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$ $= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

Aufgabe 2

Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:
Eine Funktion

$f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$

mit einer natürlichen Zahl n hat den Definitonsbereich D = IR⁺.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion $g(x)=\sqrt{x}$ nur auf IR⁺ definiert,

}

$= \frac{1}{\sqrt[n]{x}}$

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 ''mit einer natürlichen Zahl n hat den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.''
 :{{Lösung versteckt|
-:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heisst ihr Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup>. }}
+:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert,}}
 }}
 }

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