Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.
 
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.
  
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Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:
 
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Version vom 28. Januar 2009, 19:06 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form \textstyle - \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: -1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
kommt noch



Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n wird definiert:
a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n} für a \neq 0.


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

x^{-\frac 1 n}= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion f(x)=x^{-\frac{1}{n}} den Definitonsbereich D = IR+.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion g(x)=\sqrt{x} nur auf IR+ definiert, das heißt ihr Definitionsbereich M =IR+.

Aufgrund des Zusammenhangs f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)} überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g auf die Funktion f.

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