Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
 
* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
 
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=== Ungerade Potenzen ===
 
=== Ungerade Potenzen ===

Version vom 31. März 2009, 15:09 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall ]-\infty;0[ streng monoton steigend und im Intervall ]0;\infty[ streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind ]0; \infty[. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung:
zu 3.) siehe Stufe 1.1
zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\textstyle \frac{1}{k^n}-facht.
Symbolisch: f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x).


Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen f(x)=x^n und f(x)=x^{-n} kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Maehnrot.jpg
Merke:
  • Die Graphen von Funktionen mit f(x)=x^n und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x^2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x^3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen mit f(x)=x^{-n} und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^{-n}, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;\textstyle \frac{1}{16})
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q ( 0,\!5;8 )?
zu 1.) Die Lösung ist n=4.
Begründung: Es gilt f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.
zu 2.) Die Lösung ist n=3.
Begründung: Es gilt f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 8


Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n} , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^{-2}. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^{-n} bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion mit f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n} für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
zu 1.) Die Lösung ist a = 2, n = 1.
Begründung: f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2 und f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.
zu 2.) Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.

Teste Dein Wissen



Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

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