Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. April 2009, 08:03 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN
2 Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR
- 2.1 Teste Dein Wissen

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x² zu f(x) = x⁴, dann die beim Übergang von f(x) = x⁴ zu f(x) = x⁶ usw.!
Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xⁿ, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten $n \in \{0,2,4,6,...\}$ . Dann gilt:

Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für $n>1$ sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.

Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall $n=0$ gilt $(-1)^0=1$ nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten $\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}$ sind Vielfache von 2, also von der Art $2 \cdot k$ für alle $k \in {\Bbb N}$ ; dann gilt: $(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1$ für alle $k \in {\Bbb N}.$
Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige $r \in {\Bbb R}$ ist $1^r = r$ und damit insbesondere für $r \in {\Bbb N}$ .

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.

Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für $x< -1$ bzw. $x > 1$ werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kⁿ-facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$ .

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit $f(x) = x^n$ , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
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HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x¹ zu f(x) = x³, dann die beim Übergang von f(x) = x³ zu f(x) = x⁵ usw.!

zu 1) Wir betrachten hier Exponenten $n\in\{1,3,5,7,...\}$ . Dann gilt:

Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für $n\in\{3,5,7,...\}$ haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
Der Wertebereich der Funktion ist ganz ${\Bbb R}$ , alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).

zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von $n$ in allen Graphen.

Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle $x=-1$ ist $f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.$ Da $n$ nach Voraussetzung ungerade ist, ist $n-1$ eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: $(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.$

Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt $0^r = 0$ und $1^r=1$ für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$ .

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xⁿ, n eine natürliche Zahl

Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?

Der Punkt P(2;32) wird für $n=5$ durchlaufen: $f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32$ .

Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für $n=3$ durchlaufen: $f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375$ .

Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$ , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^2$ . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
Beschreibe die Veränderung der Graphen mit $f(x) = a \cdot x^n$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.)

Für $1 < a$ wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für $0<a<1$ gestaucht.
Für $a=1$ bleibt er unverändert
Für $a=0$ wird die Funktion zur Nullfunktion mit $f(x)=0$ für alle $x$ .
Der Wert $a=-1$ bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.

zu 2.)

Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$ , n eine natürliche Zahl

Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.) Lösung: $a=-0,5$ und $n=3.$

Begründung: An der Stelle $x=1$ ist $f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5$

und an der Stelle $x=-2$ ist $f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4$

zu 2.) Es gibt keine Lösung!

Begründung:

Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^n$ mit ungeradem $n$ (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter $a=1$ sein (vgl. Aufgabe 4).
Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss $f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3$ gelten.

Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die $(0,\!5)^n=3$ erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da $(0,\!5)^n \to 1$ für $n \to \infty.$

Teste Dein Wissen

Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!

Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

Hier geht es weiter.

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 :<br />
 :zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
-:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall <math>n=0</math> gilt <math>(-1)^0=1</math> nach Defition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
+:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall <math>n=0</math> gilt <math>(-1)^0=1</math> nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
 :* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist <math>1^r = r</math> und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
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 :zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
-:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für <math>x< -1</math> bzw. <math>x > 1</math> werden die Funktionswerte größer.
+:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für <math>x< -1</math> bzw. <math>x > 1</math> werden die Funktionswerte größer.
 :<br />
 :zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>

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