Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 4. Januar 2011, 12:47 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall ]-\infty;0[ streng monoton steigend und im Intervall ]0;\infty[ streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind ]0; \infty[. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}. Da wir hier nur gerade Zahlen n \in \{2,4,6,...\} betrachten gilt weiter: \textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1 unabhängig von n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\textstyle \frac{1}{k^n}-facht.
Symbolisch: f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x).


Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen f(x)=x^n und f(x)=x^{-n} kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Maehnrot.jpg
Merke:
  • Die Graphen von Funktionen mit f(x)=x^n und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x^2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x^3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen mit f(x)=x^{-n} und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^{-n}, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

zu 1.)

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
Beachte: für n=1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y=x.
  • Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich \scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\} streng monoton fallend.
  • Als Funktionswerte werden alle Werte aus \scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.


zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist \textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1 für alle betrachteten n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;\textstyle \frac{1}{16})?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q ( 0,\!5;8 )?

zu 1.) Die Lösung ist n=4.

Begründung: Es gilt f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.

zu 2.) Die Lösung ist n=3.

Begründung: Es gilt f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8


Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n} , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^{-2}. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^{-n} bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion mit f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^{-n} für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
zu 1.) Die Lösung ist a = 2, n = 1.
Begründung: f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2 und f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.
zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
Begründung:
  • Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
  • Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a = 1 sein.
Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)=x^{-n} mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=3 hat.

Teste Dein Wissen



Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

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