Quadratische Funktionen Station10: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Der Anhalteweg ===
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Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der '''Anhalteweg''' nicht allein der reine '''Bremsweg''' ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte '''Reaktionsweg''' hinzukommt.<br />
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Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die ''Reaktionszeit''') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man '''Reaktionsweg'''.
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|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
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<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>
  
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Die Funktion '''s(v) = 0,1v<sup>2</sup> + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.
  
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{{Arbeiten|
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#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit t<sub>R</sub>?
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NUMMER=1|
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#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub>?
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ARBEIT=
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#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
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# Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger als eine Sekunde ist. Berechne den Reaktionsweg , der sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h, 50 km/h, 100 km/h  aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.
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#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
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# Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus.
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#Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann.<br />
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<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
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#Stelle den Anhalteweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit grafisch dar. Gehe wieder von einer Reaktionszeit von 1 Sekunde aus und verwende a<sub>B</sub> = 5 m/s<sup>2</sup>.
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. t<sub>R</sub> = 1,5 s
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:{{Lösung versteckt|1=
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#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2a<sub>B</sub> = 10 <=> a<sub>B</sub> = 5 (m/s<sup>2</sup>)
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:1. v = 30 km/h <=> 30 km in einer Stunde <=> 30000 m in 3600 Sekunden <=> <math>\frac{30000}{3600}</math> m in 1 Sekunde <=> 8,3 m in einer Sekunde<br>
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#s(20) = 0,1·20<sup>2</sup> + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
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::D.h. bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h und einer Reaktionszeit von 1 Sekunde beträgt der Reaktionsweg ca. 8,3 m. <br>
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#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
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::genauso folgt: v = 50 km/h => Reaktionsweg ca. 13,9 m und v = 100 km/h => Reaktionsweg ca. 27,8 m <br>
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:2. '''Reaktionsweg''' = Geschwindigkeit (in m/s) '''mal''' Reaktionszeit
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:3. Anhalteweg = Bremsweg + Reaktionsweg bzw. <math>s_A = \frac{1}{2 a_B} \cdot v^2 + t_R \cdot v</math>
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:4.
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=== Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg ===
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<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>
  
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{{Arbeiten|
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Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx'''.
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NUMMER=2|
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ARBEIT=
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#Experimentiere mit dem nachfolgenden Applet.
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#Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben.
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#Bei welchem Wert für a<sub>B</sub> ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h und einer Reaktionszeit von 1,5 s ungefähr 70 m lang?
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:{{Lösung versteckt|1=
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Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.  
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:1. ---
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:2. Der Anhalteweg ist umso länger,  
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::: je höher die Geschwindigkeit ist,
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::: je geringer die Bremsbeschleunigung ist,
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::: je höher die Reaktionszeit ist.
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:3. a = 4,6 m/s<sup>2</sup>
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'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
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Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
 
}}
 
}}
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</div>
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<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
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:* 0 = a·4<sup>2</sup> + b·4  --> b = - 4a
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:* - 2 = a·2<sup>2</sup> + b·2 --> b = -1 - 2a
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daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
 
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Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit v, Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und Reaktionszeit t<sub>R</sub> variiert werden. <br><br>
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|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest-->
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[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
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<ggb_applet height="400" width="800" filename="Anhalteweg2.ggb" />
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{{Arbeiten|
 
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ARBEIT=
 
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:Es passierte an einem sonnigen Tag, irgendwo auf einer idyllischen Straße durch einen lichten Wald. Herr Meier fuhr in seinem Cabriolet mit entspannten 80 km/h die kerzengerade Straße entlang, als plötzlich 60 m vor ihm ein Hirsch auf die Straße läuft...
 
  
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:1. Wie geht die Geschichte aus, wenn Herr Meier
 
  
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::a) hochkonzentriert auf den Verkehr geachtet hat (t<sub>R</sub> = 1,0 s),
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<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
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::b) er gerade mit einem Freund telefoniert hat (t<sub>R</sub> = 2,0 s)?
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<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>
  
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:2. Angenommen, Herr Meier hatte zum Mittagessen zwei Bier und einen Verdauungsschnaps getrunken. Seine Reaktionszeit wäre damit auf 2,5 s gestiegen. Wie schnell hätte er höchstens fahren dürfen, um noch rechtzeitig zum Stehen zu kommen?
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'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''
  
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:Verwende jeweils a<sub>B</sub> = 7 m/s<sup>2</sup>
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<div class="lueckentext-quiz">
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| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
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| <strong> x<sup>2</sup> + 2x</strong>  || <strong> 0,5x<sup>2</sup> + 2x </strong> || <strong>  -x<sup>2</sup> + 2x</strong> ||  <strong>  0,5x<sup>2</sup> - 2x</strong> || <strong>  -x<sup>2</sup> - 2x</strong> ||<strong>  x<sup>2</sup> - 2x</strong>
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<big>'''Aufgabe 4'''</big>
  
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:{{Lösung versteckt|1=
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'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
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:1. a) s = 57,5 m, d.h. er kommt kurz vor dem Hirsch zum Stehen
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|<div class="multiplechoice-quiz">
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:1. b) s = 79,7 m, d.h. er kommt nicht mehr rechtzeitig zum Stehen
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'''f(x) = 2x<sup>2</sup> - 4x'''  (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.)  (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)
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:2. v = 58 km/h
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Den Einfluss der verschiedenen Faktoren auf die Länge des Anhalteweges kannst du auch mit [http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hirsch.html diesem Applet] untersuchen.
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'''f(x) = - 0,25x<sup>2</sup> + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.)  (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt  auf dem Graphen.)
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===Allgemein:  f(x) = ax<sup>2 </sup>+ bx===
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|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch '''quadratische Funktionen'''. Sie haben den Funktionsterm '''ax<sup>2 </sup>+ bx'''.
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Wir lassen nun wie oben Aufgabe 3 den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für '''b'''.
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{{Arbeiten|
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NUMMER=4|
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ARBEIT=
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:Untersuche an dem Applet rechts den '''Einfluss von b''' auf den Verlauf des Graphen.
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:#Was bleibt gleich?
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:#Was ändert sich?
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:{{Lösung versteckt|1=
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#Die Weite der Parabel bleibt gleich.  
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#Der Scheitel wird verschoben.
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{{Arbeiten|  
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NUMMER=5|
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ARBEIT=
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#Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.
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#Setzt den Satz fort: "''Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für'' ...
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:{{Lösung versteckt|1=
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#Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.
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#Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für''' b = 2 und b = -2'''.
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}}
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}}
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|width=20px|
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'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?'''  (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2x) 
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|valign="top"|<ggb_applet height="400" width="450" filename="Quadratisch_b.ggb" />
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</div>
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|}

Version vom 12. Mai 2011, 21:05 Uhr

Aufgabe 1: Anhalteweg

Die Funktion s(v) = 0,1v2 + 1,5v ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.

  1. Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR?
  2. Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB?
  3. Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
  4. Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?


 

  1. 1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s
  2. \frac{1}{2a_B} = 0,1 <=> \frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2)
  3. s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
  4. Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren

Aufgabe 2: Bestimme a und b

Die Parabel hat die Funktionsgleichung f(x) = ax2 + bx.

Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.

Hilfe:

Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.


 

Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also

  • 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a
  • - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a
daraus folgt -4a = -1 -2a --> a = 0,5 und b = - 2

Üb2 Parabel 7.jpg



Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.

Üb2 Parabel1.jpg Üb2 Parabel6.jpg Üb2 Parabel3.jpg Üb2 Parabel5.jpg Üb2 Parabel4.jpg Üb2 Parabel2.jpg
x2 + 2x 0,5x2 + 2x -x2 + 2x 0,5x2 - 2x -x2 - 2x x2 - 2x


















Aufgabe 4

Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.

f(x) = 2x2 - 4x (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)

f(x) = - 0,25x2 + 3x (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)

Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind? (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)

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