Potenzfunktionen - 2. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1  Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.! Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-$\frac {1}{k^n}$-facht. Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac {1}{k^n} \cdot f(x)$.

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen $f(x)=x^n$ und $f(x)=x^{-n}$ kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^n$ und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
Für $f(x)=x^2$ heißt der Graph Normalparabel; für $f(x)=x^3$ dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).

Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^{-n}$ und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit $f(x) = x^{-n}$, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2  Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

Teste dein Wissen

Aufgabe 3  Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt $P(2;\frac{1}{16})$ Für welches n verläuft der Graph durch $Q \left( 0,5;8 \right)$? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Lösung ist $n=4$, dann gilt nämlich $f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}$. Die Lösung ist $n=3$, dann gilt nämlich $f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8$

Die Graphen von f(x) = a x^-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4  Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^{-2}$. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! Beschreibe die Veränderung der Graphen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

Aufgabe 5  Wir betrachten wieder die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$, n eine natürliche Zahl Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $a = 2, n = 1$. Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.

Teste Dein Wissen

• Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
• Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.   Hier geht es weiter.