Marie

Einführung - Station 1: Einfluss der Parameter - Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

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Marie hat zwei Brieffreundinnen. Ines wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah ein, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatten.

Tipp:
1. Falls du nicht mehr weißt wie das "Abwickeln am Einheitskreis" funktioniert, kannst du es hier nochmals anschauen.
2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du hier.

Riesenrad

Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Ines wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst.

Aufgabe 1  a) Verändere nun den Winkel $\varphi$ mit dem Schieberegler. b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam. c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel $\varphi$ auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an. d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen. e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion.

Nachdem Marie, Ines und Maike dieses Problem gelöst hatten, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Ines meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freundinnen einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.

Tageslänge

Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle:

Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist.

Sie macht dazu dieses Diagramm:

Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte

und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen.

Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freundinnen mitteilen.

Aufgabe 2  Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen. Gib die Funktionsterme an!

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Lösung Aufgabe 1

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Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:

1. Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30
2. Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30

Lösung Aufgabe 2

 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Amplitude: a = $\frac{1}{2}max-min$
Mittelwert: d = min + a
Periodendauer: T = 365
Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar!

Tageslänge Hamburg:

a: 4:11,5 ergibt als Zahlenwert 4,19
d: 11:53 ergibt als Zahlenwert 11,88
Tageslänge(t) = $4.19 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+11.88$

Tageslänge Madrid:

a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83
d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18

Tageslänge(t) = $2.83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12.18$

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