Einführung in quadratische Funktionen
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.
Kompetenzen
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Inhaltsverzeichnis |
Graphische Darstellung
Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?
Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:
Geschwindigkeit (in km/h) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 80 | 100 | 120 |
Bremsweg (in m) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 64 | 100 | 144 |
a) Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. b) Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine Ecken haben sollte.) c) Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
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Der Funktionsterm
[Hier muss noch ein Text hin, der die Schüler zur Formel s=0,01*v^2 führt.]
a) Hinter den Daten der Wertetabelle steckt ein Muster. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann. b) In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10). |
Unfallprotokoll
a) Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. |
Unterschiedliche Straßenverhältnisse
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten "Bremsverzögerung" zum Ausdruck.
Dabei ist s der Bremsweg in m, v die Geschwindigkeit in m/s und a die Bremsverzögerung in m/s².
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg variiert werden.
Wie muss a gewählt werden, damit ... |
Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).
Merke:
Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln. Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel. |
Der Anhalteweg
Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der Anhalteweg nicht allein der reine Bremsweg ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte Reaktionsweg hinzukommt.
Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die Reaktionszeit) benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man Reaktionsweg.
a) Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger ist als eine Sekunde. Berechne den Reaktionsweg, der sich bei einer Geschwindigkeit von
aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.
Vergleiche die Fahrschulformeln mit deinen bisherigen Ergebnissen. |
Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg
Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können einerseits die Reaktionzeit, andererseits die Straßenverhältnise variiert werden.
- Anleitung Schieberegler etc. [...]
- [Hier muss noch ein GeoGebra-Applet eingefügt werden.]
a) [...] intuitiv am Graphen arbeiten |
Interaktive Übungen
Liebe Gabi, könntest du diesen Teil übernehmen?
Arbeitsblätter und Links
Arbeitsblätter
Links
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Dieser Lernpfad wurde erstellt von:
Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea Schellmann und Gabi Jauck |