Zugang zur Poissonverteilung
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg das wichtige Thema "diskrete Wahrscheinlichkeits-, bzw Verteilungsfunktion". Die Einführung in das Thema soll am Beispiel einer Unfallstatistik erfolgen, die den funktionalen Zusammenhang zeigt zwischen der Anzahl der Unfälle, in die ein Autofahrer im Laufe seines Lebens verwickelt ist, und der Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer diese Unfallanzahl aufweist. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.
Das kannst du schon:
- Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren
- statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen
- Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren
- Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
Das kannst du lernen:
- Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
- grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen
- Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren
- charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen
- Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben
Inhaltsverzeichnis |
Es gibt nur gute Autofahrer, oder?
Die meisten Autofahrer behaupten von sich, dass ihre Fahrkünste nicht schlechter als durchschnittlich sind. Ist das möglich oder handelt es sich um Selbstüberschätzung? Wie kann man die Fahrkünste überhaupt bewerten? Als Maß der Sicherheit soll die Anzahl der Unfälle gelten, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist.
Statistische Auswertung
Da als Maß der Sicherheit die Anzahl der Unfälle gilt, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist, legen wir unserer Analyse eine Unfallstatistik zugrunde. Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat: Stichprobe: 100 Fahrer
| Anzahl der Unfälle | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Personen | 6 | 17 | 23 | 20 | 14 | 9 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Aufgabe
|
Lösung:
Mittelwert: 3,22
Anzahl der Autofahrer mit höchstens 3 Unfällen: 66 von 100, also 66%.
Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Natürlich wirst du sofort als Beurteilung der Sicherheit eines Autofahrers bzw. einer Autofahrerin die Anzahl der Unfälle, in welche die Person im Laufe ihres Lebens verwickelt war, heranziehen.
- Zufallsvariable
- Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes verschiedenene, nicht vorhersagbare Zahlen x zu.
In diesem Beispiel ist die Zufallsvariable X das Maß der Sicherheit eines Autofahrers, es werden hier entsprechend die Anzahlen der Unfälle, also die Zahlen 0 bis 20 zugeordnet.
- diskrete Zufallsvariable
- Wenn dabei die zugeordneten Werte abzählbar sind, also einem Zählprozess zugrunde liegen, spricht man von "diskreten Zufallsvariablen".
Aufgabe
Finde eigenständig weitere Beispiele für diskrete Zufallsvariable! |
Wir wollen nun versuchen, aus der vorliegenden Stichprobe der Polizei etwas allgemeinere Aussagen treffen zu können. Da es sich um eine Stichprobe mittlerer Größe handelt, ist es sinnvoll, sich die relativen Häufigkeiten genauer anzusehen.
Aufgabe
Recherchiere eigenständig, was man unter der "statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit" versteht.
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Lösung zu 1:
Approximation der (statistischen) Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von relativen Häufigkeiten: Nähern sich bei wachsendem Stichprobenumfang die relativen Häufigkeiten des Eintretens eines Ereignisses E einer bestimmten Zahl p(E) so bezeichnet man p(E) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignises E. Man schreibt p(E) ~ hn(E) für sehr großes n
Diese statistische Definition der Wahrscheinlichkeit findet vor allem dann Anwendung, wenn man kein mathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet. Es handelt sich um eine empirische Größe, die eine große Versuchsreihe voraussetzt, um einen guten „Schätzwert“ liefern zu können.Lösung zu 2:
- Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable
- Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f der diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Funktion, die den Funktionswerten von X, also den zugeordneten Werten x die Wahrscheinlichkeit p ihres Eintretens zuordnet.
In diesem Beispiel entspricht die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten also einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Aufgabe
Beschreibe den Verlauf der Funktionswerte. Macht es Sinn, die einzelnen Werte mitsammen zu verbinden? |
Lösung:
Die Verteilung ist deutlich asymmetrisch, da der Erwartungswert bei 3 Unfällen liegt und die meisten Personen eher in wenige Unfälle verwickelt sind. Größere Unfallanzahlen treten hingegen viel seltener auf.
Da Unfälle nur ganzzahlige auftreten können (du kannst nicht 0,3 Unfälle haben) ist es nicht sinnvoll, die einzelnen Werte zu verbinden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist deshalb nur für ganzzahlige nicht negative Werte definiert.- Poisson-Verteilung
- Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit solchem Aussehen wurden nach dem französischen Mathematiker Simeón Denis Poisson (1781–1840) benannt und treten bei sehr seltenen Ereignissen und einer großen Stichprobe auf. Poisson hat erkannt, dass der Verlauf der relativen Häufigkeiten eine Form hat, die an den Graphen folgender Funktion erinnert:
f(x)=(e^(-p*n)*(p*n)^x)/x!, wobei p die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit welcher das Ereignis eintritt; n ist die Anzahl der Stichprobengröße
Aufgabe
Finde durch Probieren mit Hilfe von EXCEL eine POISSONVERTEILUNG, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler. |
Lösung:
Der Begriff der Verteilungsfunktion
In der ursprünglichen Aufgabenstellung interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer im Laufe seines Lebens eine bestimmte Anzahl von Unfällen hat. Vielmehr interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit welcher Zufallsvariable Werte annehmen, die nicht größer als ein fest vorgegebener Wert sind, also ein Autofahrer nicht mehr als vier Unfälle im Laufe seines Lebens hat.
Aufgabe
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Lösung zu 1:
Lösung zu 2:
Lösung zu 3:
Lösung zu 4:
Da es bei dieser Darstellung Sprungstellen bei den jeweils ganzzahligen Werten gibt, handelt es sich bei der grafischen Darstellung solcher Verteilungsfunktionen um Treppenfunktionen.
Versuch es selbst:
Beispiele:
Reiter
Kreditrisiko
Interaktive Übungen
Entstanden unter Mitwirkung von: Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier
