Trigonometrische Funktionen

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Hallo!

Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von Deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.

Viel Spass!

(dies ist nur ein Test)

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Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen Biorythmen. Wir wollen nun untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.

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Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion

In der Funktion

$x \rightarrow a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d$

sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien $\ a,b,c,d \in \R$ und $a,b\neq 0$.

$\rightarrow$ Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die $\ x$-Achse mit Vielfachen von $\pi$ beschriftet. Indem man die $\ x$-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.

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Einfluss von $\ a$	Einfluss von $\ b$	Einfluss von $\ c$	Einfluss von $\ d$
Untersuche hier den Einfluss von $\ a$ auf den Graph der Funktion $x \rightarrow a\cdot \sin x$.	Untersuche hier den Einfluss von $\ b$ auf den Graph der Funktion $x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$.	Untersuche hier den Einfluss von $\ c$ auf den Graph der Funktion $x \rightarrow \sin ( x + c )$.	Untersuche hier den Einfluss von $\ d$ auf den Graph der Funktion $x \rightarrow \sin x + d$.

Aufgaben

• Funktionen erkennen

• Graphen erkennen

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Hier kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.

Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d.

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• In diesem Arbeitsblatt kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.

• In diesem Arbeitsblatt sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.

• Was fällt auf, wenn du hier für $\ b > 1$ den Parameter $\ c$ änderst?
  

• In dem Applet auf dieser Seite werden die Parameter $\ b$ und $\ c$ anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.

Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d

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Sinus und Cosinus

Wie hängen die Sinus- und die Cosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen der Funktionen $\,\!\sin(x+\pi/2)$ und $\,\!\cos(x)$ und betrachte sie! Was fällt dir auf?

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Zum Schluss noch was zum Knobeln!!!

Anwendungen:

• In dem Applet auf dieser Seite wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.

• In dem Applet auf diesem Arbeitsblatt werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?

• In diesem Lernpfad zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?

Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.

Aufgaben

• Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:

Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?

• In diesem Bild
  
  sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.
  

Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.
Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?
Wo ist er streng monoton fallend/steigend?

zw:Trigonometrische Funktionen