Potenzfunktionen - 3. Stufe
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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.
Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzel
Eine positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln , eine positive und eine negative. So ist etwa
- .
Aus negativen Zahlen kann man dagegen keine Quadratwurzel ziehen, denn:
- , nicht definiert.
Beispiel: Kubikwurzel
- , aber auch
Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.
kurz nachgedacht
- asd asd
- asd asd asd
- aasdd