Diskret - kontinuierlich
Über diesen Lernpfad
Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen. Kompetenzen
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Inhaltsverzeichnis |
Rekursive Beschreibung von Veränderungen
Numerische Näherung - Heronverfahren
Radioaktiver Zerfall
Räuber-Beute-Modell
Differenzengleichung
Begriffsbildung
Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren - "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.
Form:
für natürliche Zahlen n.
Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben:
mit N
Dabei entspricht:
und damit beispielsweise
Links:
- http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html, Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm
Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen. Links:
- Spinnwebdiagramme - Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit GeoGebra: http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Lineare_Differenzengleichung_1._Ordnung
Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung
Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle
Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung
Gegeben ist die Funktion . Es gilt FE. |
Beispiele zum radioaktiven Zerfall
Halbwertszeit
Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).
Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen! |
Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops? |
{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\t“): \t<\math> 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne t! }} === '''Aufgaben im pdf-Format''' === ---- Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb). ---- === '''Lösungen im pdf-Format''' === ---- Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb). === Abbau von Giftstoffen === === Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum === === Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst === == Differentialgleichungen == === Begriffsbildung === Links: * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997 === Lösung einfacher Differentialgleichungen === == Ausblick == === Visualisierung über Richtungsfelder === === Näherungsverfahren === ----