Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung und Beispiele

Die Gleichung $N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ ist eine der bekanntesten der Mathematik und wird in der zehnten Schulstufe eingeführt. In der zwölften Schulstufe ist es nun mit Hilfe der Integralrechung möglich, ausgehend vom Ansatz $N(t)'=-N(t) \cdot \lambda$ obige Relation per Differentialgleichung analytisch herzuleiten. Hier (pdf-Datei, 85 kB) ist diese Herleitung Schritt für Schritt nachvollziehbar. Zuerst wird der allgemeine Fall besprochen und dann der Bezug auf die Anwendung beim radioaktiven Zerfall hergestellt.

Zusätzlich sind drei Standardaufgaben angegeben, um die Verwendung der Gleichung zu wiederholen.

Beispiele zum radioaktiven Zerfall

Merke: Halbwertszeit: Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).

Aufgabe 1  Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!

Aufgabe 2  Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?

Aufgabe 3  Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit $\,t$ 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne $\,t$!

Aufgaben im pdf-Format

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Die Angaben zu den Aufgaben findet man hier (pdf-Datei, 43 kb).

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Lösungen im pdf-Format

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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter: Lösungen (pdf-Datei, 59 kb).

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