Trigonometrische Funktionen

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Hallo!

Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst Du vieles von Deinem Wissen auf die Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.

Viel Spass!

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Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen Biorythmen. Wir wollen nun untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.

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Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion

In der Funktion

$x \rightarrow a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d$

sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien $\ a,b,c,d \in \R$ und $a,b\neq 0$.

Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die $\ x$-Achse in Einheiten von $\pi$ beschriftet. Indem man die $\ x$-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit 1 umstellen.

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Einfluss von a

Wir betrachten nun den Einfluss von $\ a$ in

$x \rightarrow a\cdot \sin x$.

Öffne dieses Applet:

Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $\ a$ ändern.

• Stelle den Schieberegler auf $\ a = 2$ ein. Wie ändert sich der Graph?
  

• Überlege Dir, wie sich die Werte $\ a = 3$ und $\ a = -1$ sowie $\ a = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.
  

• Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion durch

a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für

0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a

1 < a: Streckung um den Faktor a

Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.

Teste Dich!

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

1.

$\ a<-1;$	$-1<\ a<0;$	$0<\ a<1;$	$1<\ a$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $\ x$- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $\ x$- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $\ y$- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $\ y$- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $\ x$- Achse
				Spiegelung an $\ y$- Achse

Punkte: 0 / 0

Übertrage deine Ergebnisse auf

$x \rightarrow a\cdot \cos x$.

Öffne dieses Applet:

und bearbeite die Aufgaben wie bei sin.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a cos(x) aus dem Graph der Kosinusfunktion durch

a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für

0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a

1 < a: Streckung um den Faktor a

Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.

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Einfluss von b

Wir betrachten nun den Einfluss von $\ b$ in

$x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$.

Öffne dieses Applet:

Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $\ b$ ändern.

• Stelle den Schieberegler auf $\ b = 2$ ein. Wie ändert sich der Graph?
  

• Überlege Dir, wie sich die Werte $\ b = 3$ und $\ b = -1$ sowie $\ b = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.
  

• Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung

Hinweis: Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der y-Achse zu berücksichtigen!

Teste Dich!

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

1.

$\ b<-1;$	$-1<\ b<0;$	$0<\ b<1;$	$1<\ b$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $\ x$- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $\ x$- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $\ y$- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $\ y$- -Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $\ x$- Achse
				Spiegelung an $\ y$- Achse

Punkte: 0 / 0

Übertrage deine Ergebnisse auf

$x \rightarrow \cos ( b\cdot x )$.

Öffne dieses Applet:

und bearbeite wie bei sin.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> cos(bx) aus dem Graph der Kosinusfunktion cos durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung

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Einfluss von c

Wir betrachten nun den Einfluss von $\ c$ in

$x \rightarrow \sin ( x + c )$.

Öffne dieses Applet:

Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $\ c$ ändern.

• Stelle den Schieberegler auf $\ c = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
  

• Überlege Dir, wie sich die Werte $\ c = 2$ und $\ c = -1$, sowie $\ c = 0,5$ und $\ c = \frac{\pi}{2}$ auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.
  

• Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.

Beachte dabei:

Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse;

ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse.

Teste Dich!

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

1.

$\ c<-1;$	$-1<\ c<0;$	$0<\ c<1;$	$1<\ c$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $\ x$- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $\ x$- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $\ y$- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $\ y$- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $\ x$- Achse
				Spiegelung an $\ y$- Achse

Punkte: 0 / 0

Übertrage deine Ergebnisse auf

$x \rightarrow \cos ( x + c )$.

Öffne dieses Applet:

und bearbeite wie bei sin.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Kosinusfunktion cos durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.

Beachte dabei:

Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse;

ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse.

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Einfluss von d

Wir betrachten nun den Einfluss von $\ d$ in

$x \rightarrow \sin x + d$.

Öffne dieses Applet:

Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $\ d$ ändern.

• Stelle den Schieberegler auf $\ d = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
  

• Überlege Dir, wie sich die Werte $\ d = 2$ und $\ d = -1$ sowie $\ d = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.
  

• Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.

Teste Dich!

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

1.

$\ d<-1;$	$-1<\ d<0;$	$0<\ d<1;$	$1<\ d$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an x-Achse
				Spiegelung an y-Achse

Punkte: 0 / 0

Übertrage deine Ergebnisse auf

$x \rightarrow \cos x + d$.

Öffne dieses Applet:

und bearbeite wie bei sin.

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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> cos(x)+d aus dem Graph der Kosinusfunktion cos durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.

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Hier kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.

Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d.

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Aufgaben:

• In diesem Arbeitsblatt kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.

• In diesem Arbeitsblatt sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.

• Was fällt auf, wenn du hier für $\ b > 1$ den Parameter $\ c$ änderst?
  

• In dem Applet auf dieser Seite werden die Parameter $\ b$ und $\ c$ anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.

Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d

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Sinus und Cosinus

Wie hängen die Sinus- und die Cosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen der Funktionen $\sin(x+\pi/2)$ und $\cos(x)$ und betrachte sie! Was fällt dir auf?

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Zum Schluss noch was zum Knobeln!!!

Anwendungen:

• In dem Applet auf dieser Seite wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.

• In dem Applet auf diesem Arbeitsblatt werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?

• In diesem Lernpfad zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?

Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.

Aufgaben

• Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:

Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?

• In diesem Bild
  
  sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.
  

Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.
Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?
Wo ist er streng monoton fallend/steigend?