Zugang zur Poissonverteilung

Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg das wichtige Thema "diskrete Wahrscheinlichkeits-, bzw Verteilungsfunktion". Die Einführung in das Thema soll am Beispiel einer Unfallstatistik erfolgen, die den funktionalen Zusammenhang zeigt zwischen der Anzahl der Unfälle, in die ein Autofahrer im Laufe seines Lebens verwickelt ist, und der Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer diese Unfallanzahl aufweist. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.

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Das kannst du schon:

• Werte einer Tabelle graphisch darstellen und interpretieren
• statistische Zentral - und Streumaße berechnen und ihre Bedeutung kennen
• Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren
• Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)

Das kannst du lernen:

• Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
• graphische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen
• Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren
• charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen
• Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben

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Es gibt nur gute Autofahrer, oder?

Die meisten Autofahrer behaupten von sich, dass ihre Fahrkünste nicht schlechter als durchschnittlich sind. Ist das möglich oder handelt es sich um Selbstüberschätzung? Wie kann man die Fahrkünste überhaupt bewerten? Als Maß der Sicherheit soll die Anzahl der Unfälle gelten, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist.

Inhaltsverzeichnis

1)Statistische Auswertung Graphische Darstellung Wichtige Zentral- und Streumaße Interpretation

2)Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion Zufallsvariable Statistische Wahrscheinlichkeit Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion Poissonverteilung

3) Der Begriff der Verteilungsfunktion relative Summenhäufigkeiten Verteilungsfunktionen

Statistische Auswertung

Graphische Darstellung

Da als Maß der Sicherheit die Anzahl der Unfälle gilt, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist, legen wir unserer Analyse eine Unfallstatistik zugrunde. Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat: Stichprobe: 100 Fahrer

Unfallstatistik

Anzahl der Unfälle	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Personen	6	17	23	20	14	9	4	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0

Aufgabe

Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.

1. In Wie viele Unfälle ist ein "durchschnittlicher" Autofahrer verwickelt? Berechne wichtige statistische Zentral- und Streumaße und interpretiere deine Ergebnisse!
2. Berechne, wie viele Autofahrer der Stichprobe nicht schlechter als der durchschnittlich sind, wenn man die Anzahl der Unfälle als Maß nimmt!

Lösung: [Anzeigen][Verstecken]

Mittelwert: 3,22 Anzahl der Autofahrer mit höchstens 4 Unfällen: 66 von 100, als0 66%.

Lösung als Excel-Datei

Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Natürlich wirst du sofort als Beurteilung der Sicherheit eines Autofahrers bzw. einer Autofahrerin die Anzahl der Unfälle, in welche die Person im Laufe ihres Lebens verwickelt war, heranziehen. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes verschiedenene, nicht vorhersagbare Zahlen x zu. In diesem Beispiel ist die Zufallsvariable X das Maß der Sicherheit eines Autofahrers, es werden hier entsprechend die Anzahlen der Unfälle, also die Zahlen 0 bis 20 zugeordnet. Wenn dabei die zugeordneten Werte abzählbar sind, also einem Zählprozess zugrunde liegen, spricht man von "diskreten Zufallsvariablen".

Aufgabe: Finde eigenständig weitere Beispiele für diskrete zufallsvariable!

Wir wollen nun versuchen, aus der vorliegenden Stichprobe der Polizei etwas allgemeinere Aussagen treffen zu können. Da es sich um eine Stichprobe mittlerer Größe handelt, ist es sinnvoll, sich die relativen Häufigkeiten genauer anzusehen.

Aufgabe: a) Recherchiere eigenständig, was man unter der "statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit" versteht und stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieses Beispiels mit Hilfe relativer Häufigkeiten sowohl in einer Tabelle als auch graphisch dar!

Lösung: Approximation der (statistischen) Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von relativen Häufigkeiten: Nähern sich bei wachsendem Stichprobenumfang die relativen Häufigkeiten des Eintretens eines Ereignisses E einer bestimmten Zahl p(E) so bezeichnet man p(E) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignises E. Diese statistische Definition der Wahrscheinlichkeit findet vor allem dann Anwendung, wenn man kein mathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet. Es handelt sich um eine empirische Größe, die eine große Versuchsreihe voraussetzt, um einen guten „Schätzwert“ liefern zu können. Tabelle und Graphik Excel

Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f der diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Funktion, die den Funktionswerten von X, also den zugeordneten Werten x die Wahrscheinlichkeit p ihres Eintretens zuordnet. In diesem Beispiel entspricht die graphische Darstellung der relativen Häufigkeiten also einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Aufgabe: a) Beschreibe den Verlauf der Funktionswerte. Macht es Sinn, die einzelnen Werte mitsammen zu verbinden? Lösung: Die Verteilung ist deutlich asymmetrisch, da der Erwartungswert bei 3 Unfällen liegt und die meisten Personen eher in wenige Unfälle verwickelt sind. Größere Unfallanzahlen treten hingegen viel seltener auf.

Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit solchem Aussehen wurden nach dem französischen Mathematiker Simeón Denis Poisson (1781–1840) benannt und treten bei sehr seltenen Ereignissen und einer großen Stichprobe auf. Poisson hat erkannt, dass der Verlauf der relativen Häufigkeiten eine Form hat, die an den Graphen folgender Funktion erinnert: f(x)=(e^(-p*n)*(p*n)^x)/x!, wobei p die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit welcher das Ereignis eintritt; n ist die Anzahl der Stichprobengröße

Aufgabe: a) Finde durch Probieren mit Hilfe von EXCEL eine POISSONVERTEILUNG, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler. Lösung: intuitiv am Graphen arbeiten Tabelle und Graphik Excel

3) Der Begriff der Verteilungsfunktion

In der ursprünglichen Aufgabenstellung interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer im Laufe seines Lebens eine bestimmte Anzahl von Unfällen hat. Vielmehr interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit welcher Zufallsvariable Werte annehmen, die nicht größer als ein fest vorgegebener Wert sind, also ein Autofahrer nicht mehr als vier Unfälle im Laufe seines Lebens hat.

Aufgabe: a) Berechne die summierten Häufigkeiten und stelle diese sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar! Wie kann man daraus ablesen, welche Anzahl von Unfällen durchschnittlich erreicht wird? b) Überlege, warum sich die Funktionswerte bei größer werdenden x-Werten der Zahl 1 annähern müssen, sie jedoch nie überschreiten! c) Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Autofahrer höchstens 3 Unfälle hat? Berechne die Lösung sowohl mit Hilfe der Werte der Stichprobe als auch annähernd durch die POISSONVERTEILUNG. d) Formuliere allgemein die Verteilungsfunktion der POISSONVERTEILUNG.

Lösung: a) Tabelle und Graphik Excel; der Mittelwert liegt bei jener Anzahl an Unfällen, bei welcher die Summenhäufigkeit von 50% bzw. 0,5 überschritten wird. b) die Wahrscheinlichkeit <=höchste Anzahl ist ein sicheres Ereignis und liegt bei 100% bzw. 1. c) p(X<=3)=p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=66%; POISSONVERTEILUNG: zB. bei n=4500, p=0,00062: 69% d) F(x)=f(X=0)+f(X=1)+f(X=2)+f(X=3), Formulierung als Summe: F(x)=Summe f(k) und (k von 0 bis x)

Da es bei dieser Darstellung Sprungstellen bei den jeweils ganzzahligen Werten gibt, handelt es sich bei der graphischen Darstellung solcher Verteilungsfunktionen um Treppenfunktionen.

Versuch es selbst: Beispiele: Reiter Kreditrisiko

Interaktive Übungen

Entstanden unter Mitwirkung von: Peter Hofbauer,Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Breier