Quadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung

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Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten "Bremsbeschleunigung" zum Ausdruck. Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
              $s=\frac{1}{2a}\cdot v^2$     (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
Hinweis: Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

 

Aufgabe 1  Wie muss a gewählt werden, damit ... a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist? b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist? c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist? Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu a) a = 3,25 m/s2 zu b) a = 5,71 m/s2 zu c) a = 1,73 m/s2

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben: $s(v)=\frac{1}{2a}\cdot v^2$.

Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor $\frac{1}{2a}$ und dem Quadrat der Variablen. Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

Aufgabe 2  Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von $v^2$, d.h. wenn $\frac{1}{2a}$ kleiner bzw. größer wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\frac{1}{2a}$ wird kleiner, wenn a größer wird. Wenn a größer wird, verläuft der Graph flacher. Entsprechend wird $\frac{1}{2a}$ größer, wenn a kleiner wird. Wenn a kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind). Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!). Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.   Aufgabe 3  Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn ... ... a negativ ist? ... a zwischen 0 und 1 liegt? ... a größer als 1 ist? Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

Merke: Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln. Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.

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Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.   Hier geht es weiter.

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Dieser Lernpfad wurde erstellt von: Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea Schellmann und Gabi Jauck