Potenzfunktionen - 4. Stufe

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN
- 1.1 Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
2 Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
3 Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
- 3.1 Beispiel
4 Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $\textstyle - \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Aufgabe 1

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

kommt noch

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$ $= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

Aufgabe 2

Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion $f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$ den Definitonsbereich D = IR⁺.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion $g(x)=\sqrt{x}$ nur auf IR⁺ definiert, das heißt ihr Definitionsbereich $M =$ IR⁺.

Aufgrund des Zusammenhangs $f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}$ überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g auf die Funktion f.

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, definiert durch $f(x)=x^{\frac 1 3}$ . Gesucht ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$ !).