Quadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung

Einführung - Bremsweg - Unterschiedliche Straßenverhältnisse - Übungen (1) - Anhalteweg - Übungen (2) - Die allgemeine quadratische Funktion - Abschlusstest

Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck. Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
$s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$ (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a_B = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
Hinweis: Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

Aufgabe 1

Wie muss a_B gewählt werden, damit ...
a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

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zu a) a_B = 3,25 m/s²

zu b) a_B = 5,71 m/s²

zu c) a_B = 1,73 m/s²

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben: $s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$ .

Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ und dem Quadrat der Variablen. Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

Aufgabe 2

Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v², d.h. wenn $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ kleiner bzw. größer wird?

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$\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ wird kleiner, wenn a_B größer wird. Wenn a_B größer wird, verläuft der Graph flacher.

Entsprechend wird $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ größer, wenn a_B kleiner wird. Wenn a_B kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).

Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

Aufgabe 3

Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn ...

... a größer als 1 ist?

... a zwischen 0 und 1 liegt?

... a negativ ist?

Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².