Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Es sei stets $\mathbb N_0 = \left\{ 0,1,2,\dots \right\}$ und $\mathbb N = \left\{ 1,2,3,\dots \right\}$, insbesondere also $\mathbb N_0 \neq \mathbb N$.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\textstyle \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: $0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1$.

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Funktionsgraph kennenlernen

Aufgabe 1  Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für $n \in \{1,2,3,4,5\}$. Beschreibe den Graphen und achte dabei auf Definitionsbereich Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Aufgabe 2  Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf Definitionsbereich Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert $y=0$ wird für $x=0$ angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen. zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets $1^r=1$ für alle $r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ , $n \in \mathbb{N}.$

Wegen $x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$ nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR⁺₀

Im Falle $n=2$ nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}$

Im Falle $n=3$ nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$.

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge $d$ der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge $a=1$ über den Satz des Pythagoras ($a^2 + a^2 = d^2$) zu:

$a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist $\textstyle d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale $D$ im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $d^2 + s^2 = D^2$) zu:

$\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist also $\textstyle D = \sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen $V$ eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge $s=5$ ergibt sich über:

$V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen $V=27$ durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

Einfluss von Parametern

Aufgabe 3  In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter $a$ und $c$ mit den Schiebereglern verändern. Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen? Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Parameter $a$ bewirkt für $a>1$ eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für $0<a<1$ eine Stauchung in y-Richtung; für $a=0$ erhält man eine konstante Funktion mit $f(x)=c$. Wird $a$ negativ, so wird $f$ zu einer monoton fallenden Funktion. Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert $y$ der Wert $c$ addiert wird.

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}= -2,$

Wegen

$(-2)^3 = -8$

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

$g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}$.

Dann gilt: ID_g = IR.