Potenzfunktionen - 2. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1  Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.! Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall $]-\infty;0[$ streng monoton steigend und im Intervall $]0;\infty[$ streng monoton fallend. Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind $]0; \infty[$. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen. zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1). Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle $x=-1$ ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.$ Da wir hier nur gerade Zahlen $n \in \{2,4,6,...\}$ betrachten gilt weiter: $\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1$ unabhängig von n. Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle $x=1$ ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$ zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für $x< -1$ bzw. $x > 1$ werden die Funktionswerte größer. zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-$\textstyle \frac{1}{k^n}$-facht. Symbolisch: $f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)$.

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen $f(x)=x^n$ und $f(x)=x^{-n}$ kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Merke: Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^n$ und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung. Für $f(x)=x^2$ heißt der Graph Normalparabel; für $f(x)=x^3$ dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung). Die Graphen von Funktionen mit $f(x)=x^{-n}$ und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit $f(x) = x^{-n}$, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2  Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.! [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0). Beachte: für $n=1$ ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden $g: y=x.$ Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich $\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}$ streng monoton fallend. Als Funktionswerte werden alle Werte aus $\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}$. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich. zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1). Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle $x=-1$ ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n$. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist $\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1$ für alle betrachteten n. Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle $x=1$ ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$ zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt. In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird. In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

Aufgabe 3  Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt $P(2;\textstyle \frac{1}{16})$? Für welches n verläuft der Graph durch $Q ( 0,\!5;8 )$? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Die Lösung ist $n=4.$ Begründung: Es gilt $f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.$ zu 2.) Die Lösung ist $n=3.$ Begründung: Es gilt $f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8$

Die Graphen von f(x) = a x^-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4  Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^{-2}$. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! Beschreibe die Veränderung der Graphen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Für $1 < a$ wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für $0<a<1$ gestaucht. Für $a=1$ bleibt er unverändert Für $a=0$ wird die Funktion zur Nullfunktion mit $f(x)=0$ für alle $x$. Der Wert $a=-1$ bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. zu 2.) Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5  Wir betrachten wieder die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^{-n}$ für eine eine natürliche Zahl n. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Die Lösung ist $a = 2, n = 1.$ Begründung: $f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2$ und $f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.$ zu 2.) Es gibt KEINE Lösung. Begründung: Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein. Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter $a = 1$ sein. Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art $f(x)=x^{-n}$ mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle $x=1$ den Funktionswert $f(x)=1.$ Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle $x=1$ den Funktionswert $f(x)=3$ hat.

Teste Dein Wissen

• Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
• Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.   Hier geht es weiter.