Potenzfunktionen - 5. Stufe

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*Ergänzung für interessiert Schülerinnen und Schüler:
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^p/q, p ∈ Z und q ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen Bruch der Form $\textstyle - \frac{p}{q}$ mit $p \in \mathbb{Z}$ und $q \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Man spricht dann von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten.

Vergleich mit Funktionen aus vorangegangenen Stufen

Aufgabe 1  Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus vorangegangenen Stufen dieses Kurses kennst (rot und lila gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf Definitionsbereich Symmetrie [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Ist der Nenner im vollständig gekürzten Bruch gerade, so ist der Definitionsbereich auf $\mathbb{R}^{+}$ eingeschränkt. Bei allen anderen Funktionen ist der Definitionsbereich $\mathbb{R}$. Wenn der Exponent vollständig gekürzt einen geraden Zähler besitzt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch. einen geraden Nenner besitzt, ist der Graph nicht symmetrisch, da nur für $\mathbb{R}$ definiert. ungeraden Zähler und Nenner besitzt, ist der Graph punktsymmetrisch. Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt $f(x) = x^{\frac pq}$ mit $p,q \in \mathbb{Z}$? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Man erhält keine neuen Funktionen, wenn man auch für den Nenner des Exponenten negative Zahlen einsetzt. Denn der Exponent bleibt weiterhin ein Bruch und kann positiv oder negativ werden. Das kann aber bereits erreicht werden, indem im Zähler eine ganze Zahl $p \in \mathbb{Z}$ und im Nenner eine natürliche Zahl $q \in \mathbb{N}$steht.

Die Graphen der Potenzfunktion mit f(x) = a x^p/q

Fasst man alle Variationsmöglichkeiten der Potenzfunktion der vorangegangenen Stufen zusammen, so erhält man die Potenzfunktion $f(x) = a \cdot x^{\frac pq}$ mit den Variablen $a \in \mathbb{R}, \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$.

Aufgabe 2  Welchen der nebenstehenden Schieberegler für a, p und q muss man verändern, damit man eine Hyperbel eine Parabel einen monoton fallenden Graphen eine monton fallende Gerade erhält, während die anderen beiden Schieberegler auf 1 bleiben. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Eine Hyperbel erhält man, wenn der Exponent negativ ist. Schieberegler p kleiner 0. Eine Parabel erhält man, wenn der Exponent 2 ist. Schieberegler p auf 2. Einen monoton fallenden Graphen erhält man, wenn a positiv und der Exponentenzähler p eine negative ungerade Zahl ist (punktsymmetrische Hyperbel) oder a negativ ist (monoton fallende Gerade). Bei einer monoton fallenden Gerade muss der Exponent 1 sein, also muss hier der Schieberegler a kleiner 0 eingestellt werden. Beschreibe zu verschiedenen Funktionen $f(x)=1 \cdot x^{\frac pq}$ die Veränderung des Graphen, wenn a>1 oder a<0 ist.