Quadratische Funktionen Station1

Einstieg

Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang? Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem Video aus der Sendung findest du eine Antwort!! Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.

Tabelle, Graph und Formel

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

Geschwindigkeit v (in km/h)	10	20	30	40	50	80	100	120
Bremsweg s (in m)	1	4	9	16	25	64	100	144

 

Aufgabe 1  Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit v (in km/h) und nach oben den Bremsweg s (in m) ein. Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte). Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.

Lösung: Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen:

Aufgabe 2  Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg s aus der Geschwindigkeit v berechnen kann. In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10). Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. z.B. $s = 0,01 \cdot v^2$ oder $s = \frac{v^2}{100}$(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)
   
2. Fahrschulformel: $s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2$. Die Formeln stimmen also überein.
   

Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.

In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.

Aufgabe 3  Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet. [Tipps][Tipps ausblenden] Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert s, also den Bremsweg, ein und löse nach v auf.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.
   
2. $30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55$

Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.

Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!

Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
              $s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$     (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a_B = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

Hinweis: Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

 

Aufgabe 1  Wie muss aB gewählt werden, damit ... ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist? ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist? ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist? Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] aB = 3,25 m/s2 aB = 5,71 m/s2 aB = 1,73 m/s2

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a_B von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

Aufgabe 2  Welche Bremsverzögerung liegt vor bei 60%, 75% 100% der Betriebstemperatur der Bremsen? Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s Bremswege:< s(60%) = 49 m s(75%) = 47 m s(100%) = 37 m Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann: aB = 7,87 m/s2 aB = 8,21 m/s2 aB = 10,43 m/s2 andere Möglichkeit: Formel nach aB auflösen $a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}$ dann die Werte einsetzen Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden! v = 100 km/h = (100:3,6) m/s