Quadratische Funktionen Station2

Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

$s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

Aufgabe 3  Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ kleiner bzw. größer wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ wird kleiner, wenn aB größer wird. Wenn aB größer wird, verläuft der Graph flacher. Entsprechend wird $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ größer, wenn aB kleiner wird. Wenn aB kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen. Merke: Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ heißen Parabeln. Sie sind symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt $S(0\!\,|\!\,0)$ heißt Scheitel der Parabel und ist der tiefste Punkt. Ist $a = 1$ heißt der Graph Normalparabel.   Aufgabe 4  Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn ... ... a größer als 1 ist? ... a zwischen 0 und 1 liegt? ... a negativ ist? Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x². [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel. Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel. Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.

Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!). Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.